Тема 19. Игровые модели исследования операций

Игра как математическая модель конфликта. Основные понятия теории игр: стратегия, оптимальная стратегия. Классификация игр. Основные определения теории матричных игр. Антагонистические игры. Теорема об оптимальных стратегиях. Критерий оптимальности стратегий. Матричные игры с седловой точкой. Максиминные и минимаксные стратегии игрков. Смешанная стратегия. Теорема фон Неймана о существовании седловой точки в смешанном расширении игры. Значение игры, оптимальные и активные стратегии игроков. Распределение капиталовложений на основе игровых интересов. Основная теорема теории матричных игр. Критерии принятия решений в условиях неопределенности и риска.

Контрольные вопросы к экзамену

1. Множества. Операции над множествами. Отношения. Числовые множества. Грани множеств. Соответствие множеств. Счетные и несчетные множества.

2. Функции и их задание. Числовые последовательности и пределы. Свойства сходящихся последовательностей.

3. Признаки существования предела. Первый и второй замечательные пределы.

4. Определение монотонных функций. Предел функции и его свойства. Непрерывные функции. Типы разрывов. Теоремы о непрерывных функциях.

5. Сравнение бесконечно малых. Производная и её смысл.

6. Дифференциалы функций. Производные и дифференциалы высших порядков.

7. Теоремы о дифференцируемых функциях. Понятия экстремума, перегиба и локальной выпуклости. Исследование функций с помощью производных.

8. Задание функции в области R". Пределы и непрерывность функций п переменных.

9. Частные приращения и частные производные функции. Полный дифференциал.

10. Частные производные и полные дифференциалы высшего порядка.

11. Условия существования экстремума и выпуклости функции многих переменных.

12. Первообразная и её связь с неопределённым интегралом. Свойства неопределенного интеграла.

13. Методы вычисления неопределённого интеграла. Интегрирование рациональных (дробных), тригонометрических и иррациональных выражений.

14. Интегральные суммы и их пределы. Свойства определённого интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом Формула Ньютона—Лейбница.

15. Приложение определённого интеграла.

16. Интегрирование неограниченных функций. Интегрирование по бесконечному промежутку.

17. Дифференциальные уравнения. Частные виды. Задача Коши.

18. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

19. Системы дифференциальных уравнений.

20. Кратные и повторные интегралы.

21. Числовые ряды. Критерии сходимости.

22. Функциональные ряды. Критерии сходимости. Радиусы и интервалы сходимости.

23. Линейные уравнения. Системы линейных уравнений.

24. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

25. Линейные операции над n-мерными векторами. Разложение вектора по системе векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

26. Базисы системы векторов. Ранг системы векторов. Базис и размерность n-мерного пространства.

27. Понятие матрицы. Действия с матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы.

28. Понятие и вычисление определителей матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца.

29. Теория систем линейных уравнений. Теорема Кронекера—Капели. Общее решение системы уравнений в векторной форме.

30. Уравнения прямой на плоскости. Уравнение плоскости. Уравнения прямой в пространстве.

31. Собственные значения матрицы. Собственные векторы матрицы. Свойства собственных векторов матрицы.

32. Базис пространства R n из собственных векторов матрицы.

33. Случайные события. Алгебра событий. Классическое и статистическое определения вероятности события.

34. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.

35. Основные формулы для вероятностей событий: формула полной вероятности, формула Байеса, формула Бернулли, формула Пуассона.

36. Дискретные случайные величины. Виды случайных величин. Распределение дискретной случайной величины. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и её свойства. Начальные и центральные моменты.

37. Непрерывные случайные величины: Функция и плотность распределения вероятностей. Квантиль. Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана. Моменты.

38. Равномерное распределение. Экспоненциальное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа.

39. Предельные теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

40. Выборка и её распределение.

41. Выборочная и генеральная совокупности. Типы выборок.

42. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения.

43. Статистические оценки: Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.

44. Выборочная средняя и выборочная дисперсия.

45. Точечная и интервальная оценки. Доверительный интервал.

46. Метод моментов для точечной оценки параметров распределения. Метод наибольшего правдоподобия.

47. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения.

48. Основные законы распределения статистических оценок.

49. Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения нормального распределения.

50. Проверка статистических гипотез. Статистическая гипотеза. Ошибки первого и второго рода.

51. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

52. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона.

53. Выборочные уравнения регрессии.

54. Общая задача линейного программирования. Каноническая форма задачи линейного программирования.

55. Графический метод решения задач линейного программирования. Задача с двумя переменными.

56. Графический метод решения задач линейного программирования с n переменными.

57. Свойства решений задач линейного программирования.

58. Экстремум целевой функции.

59. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Нахождение начального опорного решения и переход к новому опорному решению. Улучшение опорного решения.

60. Метод искусственного базиса. Особенности алгоритма метода искусственного базиса.

61. Теория двойственности.

62. Транспортная задача линейного программирования. Формулировка. Методы построения начального опорного решения. Переход от одного опорного решения к другому. Распределительный метод.

63. Транспортная задача линейного программирования. Метод потенциалов. Применение транспортной задачи для решения экономических задач.

64. Целочисленное программирование: метод Гомори, метод ветвей и границ.