Тема 3. Элементы высшей алгебры

Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексного числа на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Квадратичные формы. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации. Основные определения и задачи линейного программирования. Симплексный метод. Теория двойственности. Дискретное программирование. Динамическое программирование. Нелинейное программирование.

Тема 4. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Понятие множества. Способы задания множеств. Операции над множествами. Функция на множествах и числовые функции. Множество вещественных чисел. Числовая ось. Определение числовой последовательности. Способы задания. Монотонные и ограниченные последовательности. Действия над последовательностями. Действия над последовательностями. Понятие окрестности точки. Предел числовой последовательности. Предел и теорема о пределах последовательностей. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величин. Признаки х сходимости.

Функция, ее область определения и множество значений. Способы задания функций. Элементарные функции. Ограниченные и монотонные функции. График функции. Обратные и сложные функции. Функциональная зависимость. Графики основных элементарных функций. Примеры функций в экономике и управлении. Предел функции. Условие существования предела (критерий Коши). Непрерывность функции в точке. Сравнение бесконечно малых и замечательные пределы. Число e. Необходимые и достаточные условия непрерывности функции. Действия над непрерывными функциями. Точки разрыва. Свойства числовых множеств и последовательностей. Глобальные свойства непрерывных функций.

Производная и дифференциал. Производная функция, ее геометрический и физический смысл. Производная постоянной, суммы, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функции. Логарифмическая производная. Экономический смысл производной. Эластичность. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Формула Лейбница (производная и дифференциал n-го порядка для произведения двух функции). Формула Тейлора. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Теоремы Лопиталя о раскрытии неопределенностей. Точечные множества в N – мерном пространстве.

Тема 5. Исследование функций с помощью производной Функции нескольких переменных

Локальный экстреум функции. Необходимые условия экстремума. Критические точки. Достаточные условия существования экстремума. Выпуклость функции. Достаточные условия строгой выпуклости. Точки перегиба. Достаточные условия перегиба. Наклонные и вертикальные асимптоты. Схема исследования функций. Приложение производной в экономической теории: предельные показатели в микроэкономике, максимизации прибыли, оптимизация налогообложений, закон убывающей доходности.

Определение функции нескольких переменных, график, множество уравнения функции. Окрестность точки в евклидовом пространстве. Внутренняя, граничная и предельная точки множества. Функции нескольких переменных, их непрерывность. Виды пределов. Аналогии теорем о действиях над пределами. Непрерывность функции нескольких переменных в точке. Равномерная непрерывность. Ограниченность и равномерная непрерывность на компакте. Существование наибольшего и наименьшего значения, а также промежуточного значения для непрерывной функции.

Частные производные, их геометрический смысл. Теорема об изменении порядка. Полное приращение, дифференцируемость, дифференциал функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент. Свойства функции двух переменных. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных. Дифференцирование сложной и неявной функции. Формула Тейлора для функции двух переменных. Понятие векторной функции.

Локальный экстремум. Необходимые условия. Достаточные условия существования экстремума функции «П» переменных и двух переменных. Уравнение связи. Условный экстремум функций нескольких переменных. Метод Лагранжа для нахождения условного экстремума.

Классические методы оптимизации. Функции нескольких переменных в задачах по экономики и управления: прибыль от производства товаров разных видов, задача ценовой дискриминации, оптимальное распределение ресурсов, оптимальный план, максимизация функции прибыли, оптимизация спроса. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.