РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МУРМАНСКИЙ ФИЛИАЛ

Специальность 036401.65 «Таможенное дело»

На базе среднего полного образования. Заочное обучение

«Математика» Программа курса

Тема 1. Начало векторной алгебры и аналитической геометрии. Матрицы

Введение. Предмет математики. Абстракция в математике. Элементарная и высшая математика. Определение предмета и метода математики. Роль и место математики в современном мире. Геометрия Евклида как первая естественно-научная теория. Неевклидовы геометрии. Аксиоматический метод, основные этапы и структура математики. История развития понятия числа, элементы, множества, отношения. Построение и структура курса математики в вузе.

Элементы аналитической геометрии на прямой плоскости и в трехмерном пространстве. Метод координат. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Преобразование координат. Векторы и линейные операции над ними. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между векторами и условие перпендикулярности двух векторов. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Определитель n-го порядка. Теорема Лапласса о разложении. Векторное и смешанное произведение векторов. Условие коллинеарности двух векторов. Понятие об уравнении линии и уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми, расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка и их свойства. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Углы между плоскостями, прямыми и прямой и плоскостью. Поверхности 2-го порядка.

Матрицы и действия над ними. Линейные операторы и матрицы. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами, транспортирование, умножение. Определители. Определитель и след матрицы. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Обратная матрица. Ранг матрицы. Системы векторов, ранг матрицы.

Тема 2. Система линейных алгебраических уравнений. Векторные пространства

Основные понятия и определения. Система линейных уравнений, ее матричная запись. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Базисная система. Теоремы о решениях совместных систем. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Метод обратной матрицы и формула Крамера. Метод Гаусса. Примеры применения линейной алгебры в экономике и управлении. Модель Леонтьева в многоотраслевой экономике. Линейная модель торговли.

Понятие линейного(векторного) пространства. Линейная независимость векторов, базис и ранг линейного пространства. Отображения линейных пространств. N-мерное линейное векторное пространство. Линейный оператор и его матрица. Принцип сжатых отображений. Норма оператора. Пространство R, различные нормы в нем. Линейные и квадратичные формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Бунявского. Комплексные числа и многочлены. Ортогональный базис и ортогонализация. Разложение вектора по ортонормированному базису. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Их свойства для симметрических операторов. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Канонический вид симметрического оператора.