2.3 Оценка тесноты связи цен на жилье на первичном рынке и себестоимости строительства с помощью показателей корреляции и детерминации
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy. Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие:
rxy
=
b
(Sx
/
Sy)
= Mxy
/(Sx
/ Sy)
= (
–
)/ SxSy.
Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах –1 ≤ rxy ≤ 1. Если коэффициент регрессии b > 0, то 0 ≤ rxy ≤ 1, и наоборот, при b < 0 –1 ≤ rxy ≤ 0.
Используя первое выражение для rxy, рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
rxy = b (Sx/Sy) = 2,639 (2,752/8,465) = 0,858.
Значение коэффициента корреляции показывает, что связь прямая, то есть с увеличением себестоимости строительства цены жилья на первичном рынке в общих ценах увеличиваются.
Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента rxy2, который называется коэффициентом детерминации линейной функции регрессии. Он характеризует долю дисперсии (разброса) цен на жилье на первичном рынке ŷx, объясняемую зависимостью от себестоимости строительства x, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния множества факторов, не учтенных функцией регрессии.
Соответственно величина 1 – rxy2 характеризует долю дисперсии цен на жилье на первичном рынке y, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.
Определим коэффициент детерминации:
ryx2 = ( 0,858 )2 = 0,736.
Следовательно, изменение стоимости цен квадратного метра жилья на первичном рынке на 73,6% объясняется изменением себестоимости строительства.
2.4 Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии
Из графиков и приведенных в таблицах расчетных данных следует, что фактическое значение цен на жилье на первичном рынке y отличается от теоретического значения ŷx, рассчитанных по одному из уравнений регрессии. Очевидно, чем меньше это отличие, тем ближе опытные данные к теоретическим значениям и тем лучше качество модели.
Величина, представляющая собой разность опытного и теоретического результативного признака (y – ŷx ) для каждого опыта представляет собой ошибку аппроксимации функции, связывающей цены на жилье на первичном рынке и себестоимость строительства. В данном случае число таких опытов равно двенадцати. Для оценки каждого опыта используются не сами разности, а абсолютные значения разностей опытного и теоретического результативных признаков, отнесенные к опытному признаку и выраженные в процентах, то есть:
Аi = | (yi – ŷxi) / yi |100% .
Таблица 2.6
№ п/п |
Линейная регрессия |
Степенная регрессия |
Показательная регрессия |
|||
|yi – ŷxi|2 |
|
|yi – ŷxi|2 |
|
|yi – ŷxi|2 |
|
|
1 |
1,678 |
3,905 |
0,083 |
0,193 |
1,649 |
3,838 |
2 |
3,492 |
8,045 |
5,159 |
11,885 |
3,172 |
7,307 |
3 |
7,877 |
22,039 |
9,565 |
26,761 |
7,685 |
21,501 |
4 |
3,677 |
8,394 |
5,352 |
12,218 |
3,358 |
7,666 |
5 |
0,661 |
0,013 |
2,502 |
4,861 |
0,619 |
1,203 |
6 |
0,924 |
2,367 |
1,02 |
2,612 |
0,431 |
1,104 |
7 |
0,676 |
1,720 |
1,254 |
3,191 |
0,269 |
0,685 |
8 |
5,335 |
9,096 |
3,421 |
5,833 |
5,228 |
8,913 |
9 |
7,214 |
11,789 |
5,253 |
8,584 |
7,007 |
11,451 |
10 |
3,276 |
9,257 |
5,182 |
14,643 |
3,676 |
10,387 |
11 |
5,912 |
17,446 |
2,745 |
8,101 |
2,798 |
8,257 |
12 |
2,768 |
6,458 |
0,0569 |
1,327 |
2,471 |
5,765 |
Ср. зн. |
3,624 |
8,377 |
3,466 |
8,351 |
3,197 |
7,340 |
Оценка качества всей функции регрессии может быть осуществлена как средняя ошибка аппроксимации – средняя арифметическая Аi:
А = (А1 + А2 + … + А12 ) / 12.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации линейной функции связи между ценами на жилье на первичном рынке и себестоимостью строительства:
А = 100,529· 100% / 12 = 8,377 %.
Аналогично получим среднюю ошибку аппроксимации для степенной:
А = 100,209/12 = 8,351% и для показательной функции: А = 88,077/12 = 7,340%.
Их анализ показывает, что ошибка аппроксимации находится в допустимых для практического использования пределах, однако с теоретической точки зрения может быть продолжен поиск более качественной функции регрессии. Ниже приводятся графики ошибки аппроксимации линейной, степенной и показательной регрессий.
Рис. 14
Рис. 15
Рис. 16