2.2 Дисперсионный анализ линейной функции регрессии
Центральное
место в дисперсионном анализе занимает
разложение общей суммы квадратов
отклонения результирующего показателя
y
от его среднего значения
на две части, а именно на объясненную
(факторную) и остаточную:
,
(*)
где
– общая сумма квадратов отклонений;
– объясненная (факторная) сумма квадратов;
– остаточная сумма квадратов.
Результаты расчетов сведены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Номер п/п |
yi |
|
yi
–
|
(yi – )2 |
ŷxi |
| ŷxi – | |
(ŷxi – )2 |
| yi – ŷxi | |
(yi – ŷxi)2 |
1 |
42,97 |
1,008 |
1,016 |
41,292 |
2,686 |
7,215 |
1,678 |
2,816 |
2 |
43,408 |
0,57 |
0,325 |
46,900 |
2,922 |
8,538 |
3,492 |
12,194 |
3 |
35,742 |
8,236 |
67,832 |
43,619 |
0,359 |
0,129 |
7,887 |
62,205 |
4 |
43,806 |
0,172 |
0,030 |
47,483 |
3,505 |
12,285 |
3,677 |
13,520 |
5 |
51,474 |
7,496 |
56,190 |
52,135 |
8,157 |
66,537 |
0,661 |
0,437 |
6 |
39,044 |
4,934 |
24,344 |
38,120 |
5,858 |
34,316 |
0,924 |
0,854 |
7 |
39,3 |
4,678 |
21,884 |
38,624 |
5,354 |
28,665 |
0,676 |
0,457 |
8 |
58,653 |
14,675 |
215,356 |
53,318 |
9,340 |
87,236 |
5,335 |
28,462 |
9 |
61,194 |
17,216 |
296,391 |
53,980 |
10,002 |
100,040 |
7,214 |
52,042 |
10 |
35,39 |
8,588 |
73,754 |
38,666 |
5,312 |
27,217 |
3,276 |
10,732 |
11 |
33,887 |
10,091 |
101,828 |
27,975 |
16,003 |
256,096 |
5,912 |
34,952 |
12 |
42,865 |
1,113 |
1,239 |
45,633 |
1,655 |
2,739 |
2,768 |
7,662 |
Сумма |
527,733 |
78,777 |
860,189 |
527,745 |
- |
632,013 |
- |
226,333 |
Среднее значение |
43,978 |
6,565 |
71,682 |
43,978 |
- |
52,668 |
- |
18,861 |
|
На основании выполненных расчетов имеем: 860,189 = 632,013 + 226,333. Погрешность равенства 0,2% следует отнести к вычислительной, а следовательно, равенство (*) выполняется.
Если коэффициент b изменить в 1,1 раза, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: ŷx = -46,938 + 2,903·x и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет, что следует из расчетов (табл. 2.5).
Таблица 2.5
Номер п/п |
yi |
| yi – | |
(yi – )2 |
ŷxi |
| ŷxi – | |
(ŷxi – )2 |
| yi – ŷxi | |
(yi – ŷxi)2 |
1 |
42,97 |
1,008 |
1,016 |
49,291 |
5,313 |
28,228 |
6,321 |
39,955 |
2 |
43,408 |
0,57 |
0,325 |
55,460 |
11,482 |
131,836 |
12,052 |
145,251 |
3 |
35,742 |
8,236 |
67,832 |
51,851 |
7,873 |
61,984 |
16,109 |
259,500 |
4 |
43,806 |
0,172 |
0,030 |
56,101 |
12,123 |
146,967 |
12,295 |
151,167 |
5 |
51,474 |
7,496 |
56,190 |
61,219 |
17,241 |
297,252 |
9,745 |
94,965 |
6 |
39,044 |
4,934 |
24,344 |
45,802 |
1,824 |
3,327 |
6,758 |
45,671 |
7 |
39,3 |
4,678 |
21,884 |
46,356 |
2,378 |
5,655 |
7,056 |
49,787 |
8 |
58,653 |
14,675 |
215,356 |
62,520 |
18,542 |
343,806 |
3,867 |
14,954 |
9 |
61,194 |
17,216 |
296,391 |
63,249 |
19,271 |
371,371 |
2,055 |
4,223 |
10 |
35,39 |
8,588 |
73,754 |
46,402 |
2,424 |
5,876 |
11,012 |
121,264 |
11 |
33,887 |
10,091 |
101,828 |
34,642 |
9,336 |
87,161 |
0,755 |
0,570 |
12 |
42,865 |
1,113 |
1,239 |
54,066 |
10,088 |
101,768 |
11,201 |
125,462 |
Сумма |
527,733 |
78,777 |
860,189 |
629,95 |
- |
1585,231 |
- |
1052,76 |
Средн.зн. |
43,978 |
6,565 |
71,682 |
52,247 |
- |
132,103 |
- |
87,731 |
Из таблицы следует:
860,189 ≠ 1585,231 + 1052,769,
т.е.
.
На Рис. 13 результаты дисперсионного анализа для линейной функции регрессии представлены графически.
Рис. 13