2.1.2 Расчет параметров степенной парной регрессии
Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели
предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут вычислены по алгоритму, изложенному в 2.1.1.
для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:
lg ŷ = lg a + b lg x.
Обозначим через Ŷ = lg ŷ; X = lg x; A = lg a . Тогда уравнение примет вид:
Ŷ = A + b X.
Как отмечалось, для расчета параметров А и b используются соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.
Весь предварительный расчет параметров степенной функции регрессии аналогично линейной сведен в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Номер п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3,411 |
3,761 |
11,635 |
14,145 |
12,829 |
43,053 |
0,083 |
0,193 |
2 |
3,479 |
3,771 |
12,103 |
14,220 |
13,119 |
48,567 |
5,159 |
11,885 |
3 |
3,440 |
3,576 |
11,834 |
12,788 |
12,301 |
45,307 |
9,565 |
26,761 |
4 |
3,486 |
3,780 |
12,152 |
14,288 |
13,177 |
49,158 |
5,352 |
12,218 |
5 |
3,538 |
3,941 |
12,517 |
15,532 |
13,943 |
53,976 |
2,502 |
4,861 |
6 |
3,371 |
3,665 |
11,364 |
13,432 |
12,355 |
40,064 |
1,02 |
2,612 |
7 |
3,377 |
3,671 |
11,404 |
13,476 |
12,397 |
40,554 |
1,254 |
3,191 |
8 |
3,551 |
4,072 |
12,610 |
16,581 |
14,460 |
55,232 |
3,421 |
5,833 |
9 |
3,558 |
4,114 |
12,659 |
16,925 |
14,638 |
55,941 |
5,253 |
8,584 |
10 |
3,378 |
3,566 |
14,411 |
12,716 |
12,046 |
40,572 |
5,182 |
14,643 |
11 |
3,229 |
3,523 |
10,426 |
12,412 |
11,376 |
31,142 |
2,745 |
8,101 |
12 |
3,464 |
3,758 |
11,999 |
14,123 |
13,018 |
42,296 |
0,569 |
1,327 |
Сумма |
41,282 |
45,198 |
142,114 |
170,638 |
155,659 |
- |
- |
- |
Среднее значение |
3,440 |
3,767 |
11,843 |
14,220 |
12,972 |
- |
- |
- |
Тогда
b
=
(
–
)/Sx2
=
(12,972 –
3,44·3,767)/(11,843
– 3,44·3,44)
= 1,729;
A = – b · = 3,766 – 1,729 ·3,440 = –2,184.
Таким образом, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:
Ŷ = –2,184 + 1,729·X.
Выполнив его потенцирование, получим:
ŷ x = 0,113 x 1,729
Подставляя в последнее уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение ŷx. Эти значения приведены в табл. 2.2.
На Рис. 7 представлены опытные значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке и его себестоимости, а также теоретические значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке в Приволжском федеральном округе. На Рис. 8 выполнено построение степенной функции регрессии.
Рис. 7
Рис.