§3. Числовые неравенства и их свойства

Пусть А и В – два числовых выражения. Соединив их знаком > или <, получим некоторое высказывание, называемое числовым неравенством. Неравенство А < В считается истинным, если А и В имеют числовые значения, причем числовое значение выражения А меньше числового значения выражения В.

Пример. 2 + 5 < 3 ∙ 4 – истинное неравенство, т.к. левая часть имеет значение 7, правая имеет значение 12 и 7 < 12.

Неравенство А ≤ В является дизъюнкцией неравенства А < В и равенства А = В. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных элементарных высказываний.

Неравенство А < В < С является конъюнкцией неравенств А < В и В < С. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинны оба неравенства.

Выполнив указанные в числовых выражениях действия, мы получим в левой и правой части неравенства соответствующие числа. Пусть а, b, с, d – соответствующие значения числовых выражений А, B, C, D.

Свойства числовых неравенств

1) если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство (А < В  (А) + (С) < (В) + (С));

2) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то полученное числовое неравенство будет также истинным (А < В  (А) ∙ (С) < (В) ∙ (С));

3) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то, чтобы получить истинное числовое неравенство, необходимо знак неравенства поменять на противоположный (А < В  (А) ∙ (С) > (В) ∙ (С));

4) неравенства одного знака можно почленно складывать (А < В, С < D  (А) + (С) < (В) + (D));

5) неравенства одного знака, имеющие положительные значения, можно почленно перемножать (если А < В, С < D, причем а, b, с, d > 0, то (А) ∙ (С) < (В) ∙ (D));

6) обе части истинного числового неравенства можно возвести в одну и ту же нечетную степень (если п – нечетное натуральное число, то А < В  (А)^п < (В) ^п);

7) возводить в четную степень обе части неравенства можно лишь в том случае, если обе они имеют неотрицательные значения (если п – четное натуральное число и а, b ≥ 0, то А < В  (А)^п < (В) ^п);

8) если а, b < 0, А < В  > .

§ 4. Выражение с переменной, его область определения. Тождество.

Записи 2а + 8, 3а + 5b, а⁴ – bс называют выражениями с переменными. Поставляя вместо букв числа, получим числовые выражения. Общее понятие выражения с переменными определяется точно так же, как и понятие числового выражения, только, кроме чисел, выражения с переменными могут содержать и буквы.

Для выражений с переменной тоже применяются упрощения: не ставят скобок, содержащих лишь число или букву, не ставят знака умножения между буквами, между числами и буквами и т.д.

Различают выражения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными. Обозначают А(х), В(х, у) и т.д.

Выражение с переменной нельзя назвать ни высказыванием, ни предикатом. Например, о выражении 2а + 5 нельзя сказать, истинно оно или ложно, следовательно, высказыванием оно не является. Если вместо переменной а подставить числа, то получим различные числовые выражения, которые тоже высказываниями не являются, следовательно, данное выражение предикатом тоже не является.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения.

Пример. 8 : (4 – х) – область определения R \{4}, т.к. при х = 4 выражение 8 : (4 – 4) не имеет смысла.

Если выражение содержит несколько переменных, например, х и у, то под областью определения этого выражения понимают множество пар чисел (а; b) таких, что при замене х на а и у на b получается числовое выражение, имеющее значение.

Пример. , область определения множество пар (а; b) │а ≥ b.

Определение. Два выражения с переменной называются тождественно равными, если при любых значения. Переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Т.о. два выражения А(х), В(х) тождественно равны на множестве Х, если

1) множества допустимых значений переменной в этих выражениях совпадают;

2) для любого х₀ их множества допустимых значений, значения выражений при х₀ совпадают, т.е. А(х₀) = В(х₀) – верное числовое равенство.

Пример. (2х + 5)² и 4х² + 20х + 25 – тождественно равные выражения.

Обозначают А(х)  В(х). Заметим, что если два выражения тождественно равны на каком-то множестве Е, то они тождественно равны и на любом подмножестве Е₁  Е. Также следует отметить, что утверждение о тождественном равенстве двух выражений с переменной является высказыванием.

Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Тождествами считают и верные числовые равенства. Тожествами являются законы сложения и умножения действительных чисел, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, правила деления суммы на число и др. Тождествами также являются правила действий с нулем и единицей.

Замена выражения другим, тожественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения.

Пример. 7х + 2 + 3х = 10 х + 2 - тождественное преобразование, не является тождественным преобразованием на R.