Раздел 2. Выражения. Уравнения. Неравенства § 1. Числовое выражение и его значение

Записи 3 + 8, 2 ∙ 7, (38 – 2) : 4 называют числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Дадим определение числового выражения в общем виде.

Определение. Каждое число является числовым выражением. Если А и В – числовые выражения, то (А) + (В), (А) – (В), (А) ∙ (В), (А) : (В) тоже являются числовыми выражениями.

Выражения называют в зависимости от того, какое действие выполняется последним. Так выражение 142 : 2 + 15 ∙ 4 называют суммой, т.к. последним в нем выполняется действие сложение, а выражение 24 – 3 ∙ 5 называют разностью, т.к. последним выполняется действие вычитание.

В математике применяют следующие способы упрощения записи числовых выражений:

1) опускают скобки, содержащие лишь одно число: вместо записи (3) + (5) пишут 3 + 5;

2) опускают скобки, если несколько выражений складываются или вычитаются, причем операции выполняются по порядку слева направо. точно так же не пишут скобок и тогда, когда перемножаются или делятся несколько чисел, причем эти операции выполняются по порядку слева направо: 3 ∙ 9 ∙ 24 : 8 : 2;

3) т.к. условились сначала выполнять действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание), то выражение (2 ∙ 3 ∙ 5) – (8 : 2 : 2) записывают так: 2 ∙ 3 ∙ 5 – 8 : 2 : 2.

Выполнив действия, указанные в выражении, мы получим число, называемое значением числового выражения. Так, значение выражения 24 – 3 ∙ 5 равно 9.

Если выражение состоит из одного числа, то значением выражения является само число. Для более сложных выражений порядок вычисления значений таков:

1) Если числовое выражение не содержит скобок, то сначала надо вычислить значения тех частей, выражения, в которые входят лишь операции умножения и деления, выполняя эти операции слева направо. после этого надо заменить соответствующие части выражений их значениями и выполнить их слева направо.

2) Если выражения содержат скобки, то надо взять все пары левых и правых скобок, внутри которых нет иных скобок и вычислить их значения по правилу 1. Если же скобки остались, то надо повторить операцию 2 с оставшимися скобками.

Пример. Найдите значение числового выражения ((36 : 2 – 14) ∙ (42 ∙ 2 – 14) + 20) : 2.

1) 36 : 2 = 18;

2) 18 – 14 = 4;

3) 42 ∙ 2 = 84;

4) 84 – 14 = 70;

5) 4 ∙ 70 = 280;

6) 280 + 20 = 300;

7) 300 : 2 = 150.

Следует заметить, что не всякое числовое выражение имеет значение. Так, выражение 15 : (5 – 5) не имеет значения во множестве действительных чисел, т.к. на нуль делить нельзя. Выражение (14 – 5) : 2 не имеет значения во множестве целых чисел, т.к. результат деления 9 на 2 множеству целых чисел не принадлежит.

§ 2. Числовые равенства и их свойства

Пусть даны 2 числовых выражения А и В. Соединив их знаком равенства, получим некоторое высказывание, называемое числовым равенством.

Равенство А = В считается истинным тогда и только тогда, когда оба выражения А и В имеют числовые значения, причем эти значения одинаковы.

Пример. 1) 16 : 2 = 3 + 5 – истинное числовое равенство, т.к. левая и правая части этого неравенства имеют значение 8;

2) 3 ∙ 4 = 15 – 4 – ложное равенство, т.к. значение левой части равно 12, а правой 11;

3) 15 : (10 – 10) = 15 – ложно, т.к. выражение в левой части не имеет значения.

Из данного выше определения вытекает, что если истинны равенства А = В и С = D, где А, В, С, D – числовые выражения, то при условии выполнимости соответствующих операций, истинны и равенства (А) + (С) = (В) + (D), (А) – (С) = (В) – (D), (А) ∙ (С) = (В) ∙ (D), (А) : (С) = (В) : (D), т.е. числовые равенства можно почленно складывать, вычитать, умножать, делить.

Отношение равенства числовых выражений обладает свойствами:

1) рефлексивности (А = А);

2) симметричности (А = В  В =А);

3) транзитивности (А = В  В = С  А =С), т.о. данное отношение является отношением эквивалентности и множество числовых выражений разбивается на классы эквивалентности, состоящие из выражений, имеющих одно и то же значение;

4) если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А = В  (А) + (С) = (В) + (С));

5) если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А = В  (А) ∙ (С) = (В) ∙ (С));

6) если обе части истинного числового равенства возвести в одну и ту же нечетную степень, то получим истинное числовое равенство (если п – нечетное натуральное число, то А = В  (А)^п = (В) ^п;

7) если обе части истинного числового равенства, левая и правая части которого имеют неотрицательное значение, возвести в одну и ту же четную степень, то получим истинное числовое равенство (если п – четное натуральное число, значения числовых выражений А и В неотрицательны, то А = В  (А)^п = (В)^п. Если снять условие, что значения числовых выражений А и В неотрицательны, то вместо эквивалентности будем иметь лишь импликацию А = В  (А)^п = (В)^п.