Где m() и n() – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики.

Отношение А_у/А_х есть модуль АФХ и является функцией частоты:

А_у/А_х=R()

и называется амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ). Фазовый сдвиг

 = () - также функция частоты и называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Вычисляя R() и () для диапазона частот (0…), можно построить на комплексной плоскости в координатах M() и iN() график АФХ (рис. 5.2).

Рис. 5.2 График АФХ

Очевидны следующие соотношения:

M = Rcos; N = Rsin;

;  = arctg(N/M).

(5.9)

Амплитудно-частотная характеристика.

АЧХ любой системы представляет наибольший интерес, поскольку даёт возможность определить амплитуду колебаний выходной величины при известных амплитуде и частоте входной величины. На рис. 5.3 показаны возможные на практике виды АЧХ.

Рис. 5.3 Амплитудно-частотные характеристики

На АЧХ системы 1 виден резонансный пик, соответствующий наибольшей амплитуде вынужденных колебаний. Работа в зоне около резонансной частоты может оказаться губительной и часто вообще недопустима правилами эксплуатации конкретного объекта регулирования. АЧХ вида 2 не имеет резонансного пика и для механических систем более предпочтительна. Видно также, что с увеличением частоты амплитуда выходных колебаний уменьшается. Физически это легко объясняется: любая система в силу присущих ей инерционных свойств легче подчиняется раскачиванию низкими частотами, чем высокими. Начиная с некоторой частоты, колебания на выходе становятся незначительными, и эту частоту называют частотой среза, а диапазон частот ниже частоты среза называют полосой пропускания частот. В теории автоматического регулирования за частоту среза принимают такую, при которой значение АЧХ в 10 раз меньше, чем при нулевой частоте. Свойство системы гасить высокочастотные колебания называется свойством фильтра низких частот.

Рассмотрим методику расчета АЧХ на примере звена второго порядка, дифференциальное уравнение которого

(T22p2 + T1p + 1)y = kx.

(5.10)

В задачах вынужденных колебаний часто используют более наглядную форму уравнения

(p2 +20p + 02)y = k02x,

(5.11)

где называется собственной частотой колебаний при отсутствии затухания,  =T₁₀/2 - коэффициент затухания.

Передаточная функция при этом выглядит так:

(5.12)

Заменой p = i получаем амплитудно-фазовую характеристику

(5.13)

Используя правило деления комплексных чисел, получаем выражение для АЧХ:

(5.14)

Определим резонансную частоту, при которой АЧХ имеет максимум. Это соответствует минимуму знаменателя выражения (3.66). Приравнивая нулю производную знаменателя по частоте , имеем:

2(02 - 2)(-2) +42022 = 0,

(5.15)

откуда получаем значение резонансной частоты, не равное нулю:

 рез = 0 1 - 22.

(5.16)

Проанализируем это выражение, для чего рассмотрим отдельные случаи, которым соответствуют различные значения коэффициента затухания.

1.  = 0. Резонансная частота равна собственной, и модуль АЧХ при этом обращается в бесконечность. Это случай так называемого математического резонанса.

2. . Поскольку частота выражается положительным числом, а из (5.16) для этого случая получается либо нуль, либо мнимое число, следует вывод, что при таких значениях коэффициента затухания АЧХ не имеет резонансного пика (кривая 2 на рис. 5.3).

3. . АЧХ имеет резонансный пик, причём с уменьшением коэффициента затухания резонансная частота приближается к собственной и резонансный пик становится выше и острее.