5 Равномерное распределение плотности вероятности

Данное распределение справедливо в том случае, если случайное событие лежит в определенном интервале времени от до и появление его в этом интервале равновероятно. Поскольку событие произойдет на интервале времени отсюда вероятность его появления: , а . Функция распределения: . Математическое ожидание случайной величины будет определяться величиной: , а дисперсия . Дисперсия случайной величины при равномерном распределении растет пропорционально квадрату интервала. Это распределение равномерно.

Геометрическая интерпретация математического ожидания это координата центра тяжести плоской фигуры, ограниченной прямой плотности распределения и абсцисса. Дисперсия это момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящей параллельно оси плотности распределении через центр тяжести.

6 Нормальное (Гауссово) распределение плотности вероятности

Нормальное распределение используется в теории вероятности для описания событий, зависящих от многих факторов, каждый из которых слабо влияет на распределение случайных событий. По нормальному закону распределяются параметры серийной продукции, параметры износа. Плотность распределения: .

Распределение Гаусса зависит от двух параметров М(х) и Д(х). Кривая плотности симметрична относительно оси, параллельной оси ординат. Максимальное значение этой плотности равно . Вероятность попадания случайной величины распределенной по нормальному закону в заданный интервал : . Для упрощения расчета используется табулированное выражение равенства (2), вводим новую переменную , тогда , . . - интеграл Лапласа или интеграл вероятности, тогда . Интеграл вероятности обладает свойствами: Ф(0)=0, Ф( )=0,5, Ф(-х)=-Ф(х).

При нормальном распределении на интервале срабатывает закон 3 , согласно которому в этом интервале попадание почти 100%, 97,7%, поэтому вероятность появления случайной величины вне этого интервала очень мала, менее 0,3%.

7 Показательное распределение случайных величин

Это распределение является наиболее распространенным в технике из-за своей простоты. Он дает информацию о распределении отказов техники, имеющей многоэлементную структуру. Функция распределения показательного закона выглядит следующим образом: , .

Дисперсия: , . Свойство (3) часто используется как основное свойство показательного закона (в качестве грубой оценке возможности применения показательных возможностей её применения на основе полученных экспериментальных данных)

8 Закон распределения Рэлея, Вейбулла и Пуассона

Рэлея. Во многих прикладных задачах случайные величины могут принимать только положительные значения, в этом случае величины подчиняются закону распределения Рэлея: . В этом случае плотнотсь распределения будет определяться: .Математическое ожидание: . Распределение Релея является однопараметрическим, так как математическое ожидание и дисперсия связана соотношением (3). Распределение Релея используется для ? вероятностных характеристик колебательных процессов, когда амплитуда принимается положительная, вибрационные процессы описываются распределением Релея.

Вейбулла. При изучение надежности технических систем часто используется распределение Вейбулла. В основном этот закон используется при описании разбросов усталостной прочности стальных конструкций, конструкций из сплавов.

Функция распределения: , если к=1 – показательный закон распределения.

Закон зависит от и к.

Плотность распределения: . Согласно (2) закон распределения Вейбулла зависит от k.

 

 

Пуассона. Данное распределение является дискретным и им часто пользуются для определения вероятности потока событий. Дискретная случайная величина Х (безразмерная) называется распределенной по закону Пуассона если её возможные значения равны 0, 1, 2, 3…n, а вероятность того, что x=n определяется по формуле: , Распределение Пуассона обладает тем свойством, что и мат. Ожидание и дисперсия равны одной и той же величине.