2.2. Метод Бубнова-Галеркина
Рис. 7. Расчетная схема
Дифференциальное уравнение упругого равновесия растяжения-сжатия стержня имеет вид:
(2.2.1)
Запишем аппроксимирующую функцию
,
(2.2.2)
где:
ui
– неизвестные параметры, подлежащие
определению;
-координатные функции, удовлетворяющие
граничным условиям.
Внесем аппроксимирующую функцию в дифференциальное уравнение
,
(2.2.3)
при этом в правой части появляется функция невязки e(x), представляющая по физическому смыслу неуравновешенную нагрузку.
Неизвестные
параметры будем определять из условия
равенства нулю работы невязки на
возможных перемещениях, для чего умножим
уравнение почленно на возможное
перемещение
и проинтегрируем по длине стержня.
.
(2.2.4)
В силу ортогональности тригонометрических функций
(2.2.5)
Запишем остальные интегралы (последние два интеграла брались по частям):
(2.2.6)
Внося значения интегралов в выражение для работы невязки на возможных перемещениях, приходим к равенству:
(2.2.7)
откуда
(2.2.8)
Выражение для перемещения с учетом размерности в точном решении принимает вид:
(2.2.9)
Дифференцируя по x и умножая на жесткость растяжения-сжатия EA, приходим к выражению для продольного усилия:
.(2.2.10)
Результаты счета приведены в таблице 3 и на рис. 7, 8. В таблице приведены результаты расчета при удержании десяти членов рядов (2.2.9) и (2.2.10), которые сходятся достаточно быстро для перемещений и медленнее для усилий.
Таблица 3
|
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
1,0 |
|
0 (0) |
1,174 (1,174) |
2,045 (2,040) |
2,594 (2,594) |
2,787 (2,787) |
|
3,314 (3,377) |
2,614 (2,606) |
1,820 (1,819) |
0,960 (0,963) |
0 (0) |
Рис. 8. Изменение продольного перемещения и нормального усилия по длине стержня (метод Бубнова-Галеркина, совпадение уже при 10-ти членах ряда).
Рис. 9. Изменение нормального усилия по длине стержня (метод Бубнова-Галеркина, совпадение уже при 10-ти членах ряда).
2.3. Метод Ритца-Тимошенко
Функционал полной потенциальной энергии системы имеет вид:
.
(2.3.1)
Внесем аппроксимирующую функцию (2.2.2) в выражение (2.3.1):
(2.3.2)
Запишем условие минимума функционала
(2.3.3)
для (2.2.2)
,
(2.3.4)
откуда
.
(2.3.5)
Внося значения интегралов (2.1.5) в (2.3.5), приходим к выражению для i–го неизвестного параметра
(2.3.6)
которое полностью совпадает с (2.2.8). Совпадение решений, полученных методом Бубнова-Галеркина и методом Ритца-Тимошенко, объясняется тем, что аппроксимирующая функция бралась одна и та же.
2.4. Метод наименьших квадратов
В методе наименьших квадратов мы имеем дело с функционалом, содержащим квадрат функции невязки (функционалом квадратичной ошибки)
,
(2.4.1)
который в нашем случае запишется так:
.
(2.4.2)
Внесем в этот функционал аппроксимирующую функцию (2.2.2)
(2.4.3)
Учитывая условия ортогональности (2.1.5) и закон изменения внешней нагрузки, приходим к соотношению:
(2.4.4)
Условие минимума функционала квадратичной ошибки
(2.4.5)
в применении к (2.3.4) приводит к выражению:
,
(2.4.6)
откуда
. (2.4.7)
Полученное выражение полностью совпадает с (2.2.5). Таким образом, решения, полученные методами Бубнова-Галеркина, Ритца-Тимошенко и наименьших квадратов, одинаковы при одинаковых аппроксимирующих функциях.