ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский Государственный Университет
Инженерно-строительный факультет
Кафедра строительных конструкций
ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА
По курсу «Математическое моделирование в строительстве»
(Вариант В – образец)
Выполнил ст-т гр. С-
___________________
Принял преподаватель
___________________ Буравлев В.Ф.
Киров 2009
Вариант 00-в
Рис. 1. Расчетная схема
1. Точное решение
Дифференциальное уравнение равновесия имеет вид:
(1.1)
Дважды интегрируем
(1.2)
Удовлетворяем геометрическому граничному условию на левом торце
откуда
.
(1.3)
Удовлетворяем статические граничные условия на правом торце
откуда
(1.4)
Внося полученные константы интегрирования (1.3) и (1.4) во второе соотношение (1.2), приходим к выражению для продольного перемещения
(1.5)
Умножая на EА и беря производную по x, получим выражение для нормального усилия
(1.6)
Произведем расчет перемещений и усилий по формулам (1.5( и (1.6) c помощью программы на языке программирования «Pascal» в пяти равноотстоящих точках и сведем результаты расчета в таблицу 1.
PROGRAM STTRB;
uses crt;
const
qo=1.0; l=1.0; EA=1.0; m=4;
var i: integer;
qoln,qolu,dx,x,x3: real;
u,N: array[1..m+1] of real;
BEGIN
clrscr;
qoln:=2*qo*l/pi;
qolu:=2*qoln*l/(pi*EA);
dx:=l/m;
p2:=pi/2;
pi2:=sqr(pi);
writeln;
writeln(' Результаты расчета');
writeln;
writeln('Номер точки Координата Перемещение Усилие');
for i:=1 to m+1 do
begin
x:=dx*(i-1)/l;
p2x:=p2*x;
ex:=exp(-x/2);
xp:=pi*(1-exp(-1/2)-1;
u[i]:={qolu*}(-sqr(p2x)-pi2*ex-cos(p2x)+p2*x*xp+1+pi2);
N[i]:=-{qoln*}(-pi*x+pi*ex+sin(p2x)+xp);
writeln;
writeln(' i=',i,' x=',x:5:3,' u=',u[i]:7:4,' N=',N[i]:7:4);
end;
readln;
END.
Представим результаты расчета в виде таблицы 1 и графиков (рис. 2 и 3)
Таблица 1
|
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
1,0 |
|
0 |
1,174 |
2,040 |
2,594 |
2,787 |
|
3,377 |
2,606 |
1,819 |
0,963 |
0 |
.
Рис. 2. Изменение перемещения по длине стержня (точное решение)
Рис. 3. Изменение продольного усилия по длине стержня (точное решение)
2.1. Приближенное решение (метод конечных разностей)
Обозначим узловые точки (1-5) в местах разбиения стержня на четыре элемента и введем законтурную точку 6 (рис. 4).
Рис. 4. Разбиение стержня на элементы
Запишем дифференциальное уравнение в конечно-разностной форме
(2.1.1)
Здесь введено обозначение
(2.1.2)
Запишем уравнение для всех внутренних точек, причем для крайней правой точки 5 запишем статическое граничное условие через законтурную точку 6:
(2.1.3)
Выполним
прямой ход, учитывая левое геометрическое
граничное условие
:
(2.1.4)
Выполним
обратный ход, раскрывая
и приводя результат к размерности
точного решения:
(2.1.5)
Осуществим переход к нормальным усилиям с учетом размерностей для перемещений и усилий в точном решении при помощи соотношения
,
(2.1.6)
где черта над u обозначает, что берутся только ее численные значения.
(2.1.7)
Воспользуемся соотношением, осуществляющем переход к усилиям с помощью дифференцирующей матрицы
,
(2.1.8)
которое в раскрытом виде с учетом числа элементов (h=l/4) и размерностей, использованных для перемещений и усилий в точном решении, запишется так:
.
(2.1.9)
Результаты расчета представим в виде таблицы 2 и графиков (рис. 5,6).
Таблица 2
|
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
1,0 |
|
0 (0) |
1,178 (1,174) |
2,054 (2,040) |
2,611 (2,594) |
2,812 (2,787) |
|
2,862 3,384 (3,377) |
2,146 2,615 (2,606) |
1,413 1,823 (1,819) |
0,514 0,975 (0,963) |
- 0,060 (0) |
(…) – точное решение; * - решение в рамках МКР; ** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.
Рис.
5. Изменение перемещения по длине стержня
(метод конечных разностей)
Рис. 6. Изменение продольного усилия по
длине стержня (метод конечных разностей)
Текст программы для решения системы уравнений