4. Метод наименьших квадратов

В методе наименьших квадратов мы имеем дело с функционалом, содержащим квадрат функции невязки (функционалом квадратичной ошибки)

, (2.4.1)

который в нашем случае запишется так:

. (2.4.2)

Внесем в этот функционал аппроксимирующую функцию (2.2.2)

(2.4.3)

Учитывая условия ортогональности (2.1.5) и закон изменения внешней нагрузки, приходим к соотношению:

(2.4.4)

Условие минимума функционала квадратичной ошибки

(2.4.5)

в применении к (2.3.4) приводит к выражению:

, (2.4.6)

откуда

. (2.4.7)

Полученное выражение полностью совпадает с (2.3.5). Таким образом, решения, полученные методами Бубнова-Галеркина, Ритца-Тимошенко и наименьших квадратов, одинаковы при одинаковых аппроксимирующих функциях.

4. Метод коллокаций

В методе коллокаций неизвестные параметры находятся из условия равенства нулю невязки в точках коллокации. Внесем аппроксимирующую функцию (2.2.2) в дифференциальное уравнение (2.1.1)

(2.5.1)

и потребуем, чтобы невязка была равна нулю в двух точках коллокации при x₁=l/2 и x₂=l/4 ( очевидно, что при этом число удерживаемых членов ряда должно быть равно числу точек коллокации):

(2.5.2)

или после подстановки значений синусов

(2.5.3)

Решим систему способом Крамера.

(2.5.4)

Найдем численные значения неизвестных параметров, приводя к размерности точного решения:

(2.5.5)

Выражение для продольного перемещения примет вид:

(2.5.6)

Дифференцируя и умножая на жесткость растяжения-сжатия ЕА, приходим к выражению для продольного усилия:

(2.5.7)

Результаты счета при двух точках коллокации представлены в таблице 2 и рис. 3.

Таблица 4

	0	0,25	0,5	0,75	1,0
	0* (0)	0.435* (0.478)	0.595* (0.651)	0.435* (0.504)	0* (0)
	3.984 (5.038)	2.558 (2.613)	0 (0.141)	-2.558 (-2.548	-3.984 (-5.574)

Рис. 8. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод коллокаций).

Рис. 9. Изменение нормального усилия по длине стержня (метод коллокаций).

Более медленная сходимость метода коллокаций по сравнению с методами Бубнова-Галеркина, Ритца-Тимошенко, наименьших квадратов объясняется тем, что у первого метода требования к равенству нулю невязки предъявляются в отдельных точках, а у последних требования носят интегральный характер.

2.6. Метод конечных элементов

Рис. 10. Разбиение стержня на элементы

Для отдельного конечного элемента матрица жесткости имеет вид:

, (2.6.1)

матрица преобразования нагрузки (грузовая матрица)-

, (2.6.2)

вектор внешних нагрузок:

. (2.6.3)

Матричное уравнение метода перемещений в конечноэлементной форме

. (2.6.4)

Здесь: матрица жесткости всей системы – [K], формирующаяся в соответствии с топологией системы; вектор неизвестных узловых перемещений – {U}; грузовой вектор системы -

, (2.6.5)

содержащий грузовую матрицу системы – [B] и вектор внешних нагрузок системы – {Q}.

Учитывая число участков (конечных элементов), запишем (2.6.4) для нашего примера в раскрытом виде:

. (2.6.6)

Умножая матрицу преобразования на вектор узловых значений нагрузки, перепишем (2.6.6) в виде:

. (2.6.7)

Геометрическое граничное условие (u₁=u₅=0) учтем, обнуляя строку и столбец с общим диагональным элементом – множителем при u₁ и u₅ (сам диагональный элемент при этом не обнуляется) и соответствующие элементы грузового вектора. Система (2.6.7) приобретет окончательный вид:

. (2.6.8)

Здесь введено обозначение

. (2.6.9)

Найдем определитель системы, раскладывая его по элементам первого столбца

(2.6.10)

Дополнительные определители найдем аналогично.

(2.6.11)

Найдем перемещения, внося α и приводя результат к размерности точного решения.

(2.6.12)

Осуществим переход к нормальным усилиям с помощью соотношения:

. (2.6.13)

Первый элемент:

. (2.6.14)

Второй элемент:

. (2.6.15)

Третий элемент:

. (2.6.16)

Четвертый элемент:

. (2.6.17)

Воспользуемся дифференцирующей матрицей

. (2.6.18)

Результаты расчета представим в виде таблицы 2 и графиков (рис. 8,9).

Таблица 5

	0	0,25	0,5	0,75	1,0
	0* (0)	0.480* (0.478)	0.654* (0.651)	0.506* (0.504)	0* (0)
	3.840* 5.064** (5.038)	1.392* 2.616** (2.613)	-1.184* 0.104** (0.141)	-4.048 -2.616** (-2.548)	- -5.480** (-5.574)

(…) – точное решение; ^* - решение в рамках МКЭ; ^** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.

Рис. 10. Изменение перемещения по длине стержня (метод конечных элементов)

Рис. 11. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных элементов)

PROGRAM GAUSS1;

{Решение систем уравнений методом Гаусса }

uses crt;

const

n=3;

A: array [1..n,1..n] of real=((2,-1,0),(-1,2,-1),(0,-1,2)); B: array [1..n] of real=(11.908,12.552,13.899);

var

i,j,k: integer;

H: real;

X: array [1..n] of real;

BEGIN

clrscr;

for i:=1 to n-1 do begin

for j:=i+1 to n do begin

A[j,i]:=-A[j,i]/A[i,i];

for k:=i+1 to n do begin

A[j,k]:=A[j,k]+A[j,i]*A[i,k];

end;

B[j]:=B[j]+A[j,i]*B[i];

end;

end;

X[n]:=B[n]/A[n,n];

for i:=n-1 downto 1 do begin

H:=B[i];

for j:=i+1 to n do begin

H:=H-X[j]*A[i,j];

end;

X[i]:=H/A[i,i];

end;

writeln;

writeln(' Номер точки Перемещение ');

for i:=1 to n do begin

writeln;

writeln(' i=',i,' X[i]=', X[i]:7:4);

end;

readln;

END.

Решение по приведенной программе полностью совпадает с решением, полученным вручную и практически совпадает с точным решением.