Вариант 1

1. В ящике среди 10 одинаковых по внешнему виду деталей имеется 8 стандартных. Наудачу взяты три детали. Составить полную группу возможных событий и найти их вероятности.

2. Вероятность того, что студент сдает первый экзамен, равна 0,9; второй экзамен – 0,85; третий экзамен – 0,95. Найти вероятности событий:

а) студент сдаст все три экзамена;

б) сдаст не менее двух экзаменов;

в) не сдаст только третий экзамен.

3. На склад поступают изделия трех заводов, производительности которых относятся как 1:2:1. Вероятность изготовления первосортного изделия на 1-м заводе равна 0,8; на 2-м заводе – 0,7; на 3-м – 0,9. Наудачу взятое изделие оказалось первосортным. Найти вероятность того, что оно изготовлено на первом заводе.

4. Завод выпускает приборы, среди которых в среднем 98% без дефектов. Найти вероятность того, что в партии из 200 приборов:

а) два с дефектом; б) не более одного с дефектом;

в) хотя бы один с дефектом.

Найти наивероятнейшее число деталей с дефектом.

5. Контрольная работа состоит из шести задач, причем для «зачета» необходимо решить любые четыре задачи. Если студент будет решать в течение отведенного времени лишь четыре задачи, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,8. Если он попробует решать пять задач, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,7, а если он возьмется за решение всех шести задач, то вероятность снизится до 0,6. Какой тактики должен придерживаться студент, чтобы иметь наибольшие шансы получить зачет?

6. При изготовлении облицовочной плитки 70% изделий оказываются первосортными. Сколько надо взять плиток, чтобы с вероятностью, превышающей 0,99, можно было утверждать, что доля первосортных плиток среди них будет отличаться от вероятности 0,7 не более чем на 0,05 (по абсолютной величине)?

7. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов.

8. Выборка задана в виде распределения частот:

x_i. 4 7 8 12

n_i. 5 2 3 10

Найти распределение относительных частот. Построить полигон относительных частот.

Вариант 2

1. В коробке 5 красных, 3 синих и 2 желтых карандаша. Наудачу взяли три карандаша. Найти вероятности событий:

а) среди выбранных карандашей – 2 красных и 1 синий;

б) эти карандаши одного цвета;

в) разных цветов.

2. Вероятность попадания стрелком в цель при выстреле равна 0,7. Стрелок стреляет до первого попадания. Чему равна вероятность того, что ему потребуется:

а) три выстрела;

б) не более трех выстрелов?

3. Половина поступивших на склад изделий изготовлена на первом заводе, третья часть – на втором заводе. Остальные изделия – на третьем. Первый завод производит 1% с браком, второй – 0,7% и третий – 0,5%. Произвольно выбранное изделие оказалось с браком. Какова вероятность того, что оно изготовлено:

а) на первом заводе;

б) на втором заводе.

4. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключается) три партии из четырех или пять из восьми?

5. Какова вероятность того, что при 60 бросаниях игральной кости «тройка» выпадет:

а) восемь раз;

б) от 10 до 20 раз включительно?

Найти наивероятнейшее число выпадений «тройки» при 60 бросаний игральной кости.

6. Отдел технического контроля проверяет на стандартность 100 изделий. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,92. Найти с вероятностью 0,9544 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.

7. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

8. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

x_i 1 4 6

п_i 10 15 25