7.Виды корреляции

7.1Линейная корреляция

Если обе линии регрессии У на X и X на К — прямые, то корреляцию называют линейной.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии У на X имеет вид

где — условная средняя; и — выборочные средние признаков X и У: и — выборочные средние квадратические отклонения; —выборочный коэффициент корреляции, причем

Выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y имеет вид

Если данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целе-сообразно перейти к условным вариантам:

и

где —«ложный нуль» вариант X (новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять варианту. которая расположена примерно в середине вариационного ряда (условимся принимать в качестве ложного нуля варианту, имеющую наибольшую частоту); — шаг, т. е. разность между двумя соседними вариантами Х; — ложнsй нуль вариант Y; — шаг вариант Y.

Пример №535

7.2 Криволинейная корреляция

Если график регрессии — кривая линия, то корреляцию называют криволинейной. В частности, в случае параболической корреляции второго порядка выборочное уравнение регрессии Y на X имеет вид

Неизвестные параметры А, В и С находят (например, методом Га-усса) из системы уравнений:

Аналогично находится выборочное уравнение регрессии X на Y:

Пример №537

7.3 Ранговая корреляция

А. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Пусть выборка объема п содержит независимые объекты, которыеобладают двумя качественными признаками: А и В. Под качественным подразумевают признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и, следовательно, расположить их в порядке убывания пли возрастания качества. Для определенности условимся располагать объекты» порядке ухудшения качества.

Расположим сначала объекты в порядке ухудшении качества по признаку А. Припишем объекту, стоящему на i-м месте, число — ранг -, равный порядковому номеру объекта: . Затем расположим объекты в порядке убывания качества по признаку В и при-пишем каждому из них ранг (порядковый номер) , причем (для удобства сравнения рангов) индекс i при у по-прежнему равен порядковому номеру объекта по признаку А.

В итоге получим две последовательности рангов:

по признаку A

по признаку B

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена нахо-дят по формуле

где , n—объем выборки.

Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Спирмена не превышает единицы:

Пример №540

Б. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Можно оценивать связь между двумя качественными признаками, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Пусть ранги объектов выборки объема n(здесь сохранены все обозначения п. А):

по признаку A

по признаку B

Допустим, что справа от имеется рангов, больших ; справа от имеется рангов, больших ;справа от имеется Rn-i рангов, больших Введем обозначение суммы рангов:

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла нахо-дят по формуле:

где n — объем выборки, R — сумма рангов

Абсолютная величина коэффициента ранговой корреляции Кен-далла не превышает единицы:

Пример №548