1. Производная функции одной переменной

1.1. Понятие производной функции и ее непосредственное вычисление

Пусть задана элементарная функция , определенная в каждой точке интервала .

Берем фиксированную точку из этого интервала и придаем аргументу любое приращение , настолько малое, что (рис. 1).

Рис. 1

Находим приращение функции и строим разностное отношение . Тогда предел разностного отношения при (при условии, что этот предел существует) называется производной и обозначается:

.

Из определения следует, что производная характеризует скорость изменения функции. Действительно, , где - бесконечно малая при , то есть . А тогда с точностью до , производная есть коэффициент пропорциональности между и , который характеризует скорость изменения функции.

Пример 1. Найти производную функции в произвольной точке :

a) ; б) .

Решение: а) строим приращение , вычисляем предел . Следовательно, производная ;

б) строим приращение , вычисляем предел , где использовали замечательный предел , и непрерывность косинуса. Следовательно, производная .

1.2. Табличное дифференцирование

Для вычисления производных простых функций (как комбинаций основных элементарных функций) используем правила дифференцирования:

1) ;

2) ;

3) , где ;

4)

и таблицу производных основных элементарных функций простого аргумента.

Таблица 1.

№	Функция	Производная	Примечание
1		0	Производная постоянной функции равна нулю
2		1	Производная независимого аргумента равна 1
3
4			При дифференцировании степени показатель понижается на 1
5			Производная обратно-пропорциональной величины
6
7			Производная натурального логарифма
8			Производная логарифма
9			Производная показательной функции
10			Производная экспоненты
11			Производные тригонометрических функций
№	Функция	Производная	Примечание
12			Производные тригонометрических функций
13
14
15			Производные обратных тригонометрических функций
16
17
18
19			Производная гиперболического синуса
20			Производная гиперболического косинуса

При получении производных обратных тригонометрических функций используем теорему: Если функция возрастает и непрерывна в некоторой окрестности точки и ее производная в этой точке отлична от нуля, тогда в некоторой окрестности точки определена обратная функция , такая, что

или .

Пример 2. Вычислить производную функции .

Решение. По правилам дифференцирования и таблицы производных получаем .