44

Министерство образования РФ

Норильский индустриальный институт

Кафедра высшей математики

Дифференциальное исчисление фунуций одной переменной

Методические указания и типовые расчеты

Норильск 2002

ББК 22.161.1я7

Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Методические указания и типовые расчеты / Норильский индуст. ин-т – Норильск, 2002. – 44 с.

Составители: В.И. Потапов, доцент;

С.Ф. Шевчук, ассистент;

Д.В. Дубров, ассистент.

Методические указания предназначены для студентов всех специальностей всех форм обучения. В настоящей работе содержатся основные сведения и индивидуальные задания по дифференциальному исчислению функций одной переменной (производная функции, техника дифференцирования, построение касательной и нормали к кривой, исследование функций с помощью производных и построение графика, задачи на минимизацию и максимизацию физических, экономических и геометрических величин). На конкретных примерах рассматривается применение пакета прикладных программ MATHCAD для построения графиков элементарных функций.

Методические указания составлены согласно государственному образовательному стандарту, утвержденному 14.04.2002 г. и примерной программе дисциплины «Математика».

© Норильский индустриальный институт, 2002

Введение

В 1665 г. Исаак Ньютон (1643-1727) окончил Кембриджский университет и собирался начать работу тут же, в колледже его родного Тринити. Однако чума, бушевавшая в Англии, заставила Ньютона уединиться на своей ферме в Вулсторпе. “Чумные каникулы” затянулись почти на два года. “Я в то время был в расцвете моих изобретательных сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже”, - писал Ньютон. Тогда и сделал молодой ученый почти все свои открытия в физике и математике. В Вулсторпе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач методом флюксий и флюэнт, которые у Лейбница назывались производными и дифференциалами.

Основы дифференциального исчисления ученый заложил в своей самой значительной работе по математике “Метод флюксий” (1670-1671), которая была опубликована уже после его смерти.

В те же годы Готфрид Лейбниц (1646-1716) вводит понятие дифференциала функции, строит правила вычисления дифференциалов, применяет обозначения , где - производная функции. Эти обозначения во многих отношениях настолько удачны, что широко используются и по сей день. Обозначение для производной было введено лишь в 1770 г. французским математиком Ж.Л. Лагранжем. Построение дифференциального исчисления стимулировалось идеей создания единого метода решения задач на минимизацию и максимизацию геометрических, физических и экономических величин. “Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад”, – писал И. Ньютон.

В 1660 г. Пьер Ферма (1601-1665) выдвинул свой принцип: если переменная величина достигает своего экстремального значения при конкретном параметре, то скорость ее изменения в этот момент равна нулю (покой!).

Зачем решают задачи на максимум и минимум? В качестве ответа на этот вопрос приведем следующие высказывания: “По Лейбницу наш мир является наилучшем из всех возможных миров, и поэтому его законы можно описать экстремальными принципами” (Карл Зигель); “В мире не происходит ничего, в чем бы не был смысл какого-нибудь максимума или минимума” (Леонард Эйлер (1707-1783); “Большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин, . . . и только решением этих задач, мы можем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного” (П.Л. Чебышев).