2.2. Уравнение количества движения.
Применение второго закона Ньютона к жидкости, протекающей через бесконечно малый фиксированный контрольный объем, приводит к уравнению количества движения:
. (2.2.1)
Отметим физический смысл слагаемых в
левой части (2.2.1). Так, первый член
этого уравнения дает отнесенное к
единичному объему изменение количества
движения в контрольном объеме за единицу
времени. Второй член есть отнесенное
к единичному объему изменение количества
движения в контрольном объеме за счет
инерции в единицу времени. Заметим, что
– тензор, поэтому
не есть просто дивергенция. Однако этот
член можно разложить на два слагаемых:
.
(2.2.2)
Когда это выражение подставляется в уравнение (2.2.1), то, с использованием уравнения неразрывности, последнее упрощается и уравнение количества движения принимает вид:
. (2.2.3)
Первый член в правой части уравнения
(2.2.3) есть отнесенная к единице объема
массовая сила. Массовые силы действуют
на расстоянии и приложены ко всей массе
тела. Чаще всего это – сила тяжести.
Второй член в правой части уравнения
(2.2.3) дает отнесенные к единице объема
поверхностные силы. Эти силы суть
механические напряжения, действующие
на выделенный жидкий объем со стороны
внешней по отношению к нему жидкости.
Они образованы нормальными и сдвиговыми
напряжениями и задаются компонентами
тензора напряжений
.
Приведенное выше уравнение выписано для общего случая и пригодно как для течений с разрывами области течения, так и без таковых. Но, как только для тензора напряжений мы принимаем какую-либо аппроксимацию (физическая модель процесса), уравнение (2.2.1) теряет свою общность. Для всех газов, которые можно считать сплошной средой замечено, что напряжение в некоторой точке линейно зависит от скорости деформации жидкости. Такая жидкость называется ньютоновской. При этом допущении можно вывести общий закон деформации, который связывает тензор напряжений с давлением и компонентами скорости. В тензорных обозначениях он записывается в виде:
,
(2.2.4)
где
– символ Кронекера (
=1,
если i=j,
и
=0,
если i≠j,);
– компоненты вектора скорости
;
– координаты радиус-вектора точки;
– коэффициент динамической вязкости;
– второй коэффициент вязкости. Эти два
коэффициента вязкости связаны с
коэффициентом объемной вязкости ǽ
выражением:
ǽ
. (2.2.5)
Обычно коэффициент объемной вязкости полагают пренебрежимо малым, за исключением тех случаев, когда изучается структура ударных волн, а также поглощением и затухание акустических волн. При ǽ=0 второй коэффициент вязкости станет равным:
. (2.2.6)
а тензор напряжений можно записать как
. (2.2.7)
Тензор напряжений разделяют часто на две части:
, (2.2.8)
где – тензор вязких напряжений, задаваемый выражением:
. (2.2.9)
Подставляя (2.2.7) в (2.2.3), получаем уравнения движения, которые совместно с уравнением неразрывности (2.1.1) образуют систему, известную как уравнения Навье – Стокса. Итак, уравнения движения имеют вид:
. (2.2.10)
Заметим, что впервые на основании соображений о взаимодействии молекул эти уравнения были получены Навье в 1822г. и Пуассоном в 1829г. Позднее, используя уравнения динамики сплошных сред (в напряжениях) и уравнение несжимаемости, эти уравнения получил Сен-Венан в 1843г. и затем Стокс в 1845г. Таким образом, уравнения Навье – Стокса образуют базу, на основе которой была развита полная теория вязких течений.
Выше отмечалось, что движение в трубах в технических приложениях носит сложный характер и большей частью оно турбулентно. В таком движении поля скоростей, давлений, температур и других физических величин имеют иррегулярную и очень сложную структуру. Посмотрим на математическое содержание этих процессов.