Глава 2. Основные уравнения динамики жидкости и вязкого газа

Экскурс в историю вопроса показывает, что исторически сложились два подхода к получению уравнений динамики жидкости: феноменологический и кинематический. В первом случае постулируются определенные соотношения между напряжением и скоростью деформации, между потоками тепла и градиентом температуры, после чего уравнения динамики жидкости выводятся из законов сохранения. Требуемые константы пропорциональности между напряжением и скоростью деформации и между потоком тепла и градиентном температуры, называемые коэффициентами переноса, в этом подходе должны определяться экспериментальным путем. Во втором подходе (кинематическом) уравнение динамики жидкости получают с коэффициентами переноса, которые определяются в рамках некоторых интегральных соотношений, возникающих при рассмотрении динамики сталкивающихся частиц. Слабая сторона этого подхода состоит в том, что при вычислении интеграла столкновения необходимо определить силы взаимодействия между частицами, особенности, размеры, структуру струй, и т.д. Таким образом, неопределенность феноменологического подхода, обусловленная экспериментом, сменяется неопределенностью математического свойства в кинетическом подходе. Эти два подхода приведут к одним и тем же уравнениям динамики жидкости, если при их выводе делаются равнозначные допущения.

Фундаментальные уравнения динамики жидкости и газа основаны на универсальных законах: сохранения массы, сохранения количества движения и сохранения энергии. Уравнение, получающееся в результате применения закона сохранения массы к потоку жидкости, называется уравнением неразрывности. Закон сохранения количества движения – это второй закон Ньютона. Его применение к потоку жидкости дает векторное уравнение, известное как уравнение количества движения или как уравнение импульса. Закон сохранения энергии тождественен первому закону термодинамики и в динамике жидкости и газа уравнение, являющееся его выражением, называется уравнением энергии. Для замыкания систем к уравнениям, полученным из упомянутых выше законов сохранения, следует добавить соотношения, устанавливающие связь между свойствами жидкости. Примером такого соотношения может быть уравнение состояния, связывающие термодинамические параметры жидкости: давление p, плотность ρ и температуру T.

Дадим краткую формулировку этим уравнениям.

2.1. Уравнение неразрывности.

Применяя закон сохранения массы к жидкости, протекающей через фиксированный объем, получим уравнение неразрывности:

(2.1.1)

где – плотность жидкости, а – ее скорость. Слагаемые (2.1.1) имеют следующий физический смысл: первый член уравнения дает увеличение плотности в контрольном объеме за единицу времени; второй – поток массы через поверхность контрольного объема за единицу времени, отнесенный к единице объема. Удобно воспользоваться понятием субстанциональной производной:

, (2.1.2)

для преобразования уравнения (2.1.1) к виду

. (2.1.3)

Уравнение (2.1.1) было выведено с использованием подхода Эйлера. В этом подходе фиксируется контрольный объем и рассматривается баланс жидкости, протекающий через его поверхность. В альтернативном подходе Лагранжа изменения свойств некоторого жидкого элемента фиксируется наблюдателем, движущемся вместе с этим элементом. В представленных задачах гидродинамические процессы удобнее описывать с точки зрения Эйлера.

В декартовой системе координат, где u, v, w – компоненты скорости по осям x, y, z, уравнение (2.1.1) принимает вид:

. (2.1.4)

Заметим, что уравнение (2.1.4) записано в форме закона сохранения (дивергентной форме) весьма удобной для учета особенностей численного моделирования сложных течений в трубах с особенностью границ области движения рабочего тела. Рассмотрим формы записи уравнения (2.1.1) для моделей вязких сред. Напомним, что жидкость, плотность которой остается постоянной, называется несжимаемой. Математически это означает, что

. (2.1.5)

Тогда уравнение (2.1.3) будет сведено к уравнению:

, (2.1.6)

а в декартовой системы координат имеем:

. (2.1.7)

Перейдем к уравнениям движения.