§ 6. Степеневі ряди. Ряд Тейлора.

Теоретичні питання.

1. Степеневі ряди: означення, область збіжності. Теорема Абеля про абсолютну збіжність. Радіус збіжності. Теорема Коші-Адамара.

2. Рівномірна збіжність степеневого ряду: друга теорема Абеля про неперервність суми, теорема Арцеля. Інтегрування та диференціювання степеневого ряду.

3. Ряди Тейлора і Маклорена. Достатня умова представлення функції рядом Тейлора. Ряд Маклорена функцій . Біноміальний ряд.

4. Теорема про збіжність біноміального ряду. Степеневі ряди з комплексними членами. Показникова функція в комплексній площині. Формула Ейлера.

Приклад 1. Знайти радіус та область збіжності ряду

.

Розв’язання. Радіус збіжності знайдемо за формулою

.

Оскільки , то одержуємо, що . Отже, інтервал збіжності – це проміжок . Дослідимо на збіжність ряд в точках . Підставимо в ряд , одержимо числовий ряд з додатними членами

.

Порівняємо його з рядом

.

Оскільки для будь-якого виконується нерівність , то зі збіжності ряду випливає збіжність ряду . Застосуємо до ряду інтегральну ознаку Коші. Для цього розглянемо невласний інтеграл

.

Отже, інтеграл збігається. А оскільки виконуються всі умови інтегральної ознаки, то збігається і ряд .

Таким чином, за теоремою порівняння збігається і ряд .

Підставимо в наш степеневий ряд . Одержимо знакозмінний ряд

.

Оскільки числовий ряд, складений з абсолютних величин цього ряду, збігається, то за означенням цей ряд збігається абсолютно.

Відповідь: , область збіжності причому на всій області збіжності ряд збігається абсолютно.

Приклад 2. Знайти радіус та область збіжності ряду

.

Розв’язання. Знайдемо верхню границю , оскільки члени останньої послідовності з парними номерами дорівнюють , а всі члени з непарними номерами дорівнюють . Таким чином, за теоремою Коші-Адамара радіус збіжності . Підставимо в ряд , одержимо числовий ряд

.

Оскільки при : , тобто (ця границя не існує), то за необхідною ознакою збіжності наш числовий ряд розбігається. З цієї ж причини розбігається числовий ряд, який одержується, якщо в степеневий ряд підставити .

Відповідь: , область збіжності .

Приклад 3. Розвинути функцію в ряд Маклорена, вказати його область збіжності.

Розв’язання. Використавши відомий розклад функції у степеневий ряд , одержимо розвинення функції , підставивши в останній ряд :

; .

Оскільки ряд функції збігається для , то очевидно, що наш ряд збігається для .

Відповідь: , .

Приклад 4. Розвинути функцію в ряд Маклорена, вказати область збіжності.

Розв’язання. Розкладемо в ряд Маклорена функцію . Оскільки вона є сумою геометричної прогресії з першим членом та знаменником , маємо

, .

Проінтегрувавши почленно цей степеневий ряд, маємо

.

Область збіжності при цьому не зміниться. Підставимо в рівність значення . Оскільки , одержимо . Тому

, .

Поклавши , дістанемо

;

.

Враховуючи область визначення даної функції, остання рівність має місце при .

Відповідь: , .

Зауваження. Підставивши в останню рівність , одержимо суму знакопочередного числового ряду, якщо врахувати, що :

.

Приклад 5. Розвинути в ряд за степенями функцію , вказати область збіжності.

Розв’язання. Зробимо заміну . Одержимо

.

Використаємо відоме розвинення , .

Підставивши в цю рівність , одержимо

.

Останній ряд збігається при умові

,

,

.

Відповідь: , .

Зауваження. Підставивши в останню рівність , одержимо суму числового ряду .

Приклад 6. Обчислити , якщо .

Розв’язання. Поклавши і використавши біноміальний ряд, дістанемо

.

Оскільки область збіжності біноміального ряду , то останній ряд збігається при . Цей ряд є рядом Маклорена нашої функції, тобто

.

Розглянувши член ряду, який містить , одержимо

.

Відповідь: .

Приклад 7. Обчислити з точністю інтеграл

.

Розв’язання. Розклад функції в ряд Маклорена має вигляд

.

Останній ряд збігається рівномірно при . Проінтегруємо його почленно на проміжку і перейдемо до границі при . Дістанемо

.

Ми одержали знакопочередний ряд. За теоремою Лейбніца залишок цього ряду задовольняє нерівності

.

При маємо . Отже, в останній сумі треба взяти чотири перших члени, тобто

із заданою точністю .

Відповідь: .

Приклад 8. Обчислити з точністю число .

Розв'язання. Звичайно, можна було б скористатись рядом, наведеним в зауваженні до прикладу 5, але це нераціонально, оскільки прийшлось би розглянути велику кількість членів ряду. Розглянемо інше відоме розвинення

, .

Знайдемо зрівняння . Одержимо .

Отже,

.

Щоб оцінити похибку наближеного обчислення, розглянемо абсолютну величину залишку останнього ряду:

.

Щоб останнє число не перебільшувало , достатньо взяти чотири члени ряду, тому що .

Таким чином, із заданою точністю

.

Відповідь: .

Приклад 9. Знайти формально перші чотири члени розвинення в ряд Тейлора розв’язку рівняння

,

що задовольняє початковим умовам .

Розв’язання. Будемо шукати розв’язок у вигляді ряду

Значення та відомі з умови. З рівняння одержимо . Продиференціюємо обидві частини рівняння

.

Звідси .

Продиференціюємо обидві частини останнього рівняння

.

Звідси .

Залишилось підставити в ряд знайдені числа.

Відповідь: .

Приклад 10. Обчислити суму ряду

.

Розв'язання. Знайдемо радіус збіжності цього ряду за формулою

.

Отже, цей ряд можна почленно інтегрувати або диференціювати на проміжку . Але з іншого боку можна двічі почленно продиференціювати відомий ряд

,

сума якого дорівнює , . Одержимо

, .

Запишемо наш ряд у вигляді суми двох рядів

.

Оскільки останні два ряди збігаються на тому ж проміжку , то сума нашого ряду дорівнює

.

Відповідь: , .

Приклад 11. Обчислити суму ряду

.

Розв’язок. Знайдемо радіус збіжності ряду за формулою

.

Доцільно коефіцієнти ряду записати у вигляді

.

Тоді наш ряд можна записати у вигляді суми двох рядів:

.

Позначимо через суму останнього ряду, тобто

.

Він має ту ж область збіжності, що й даний ряд.

Продиференціюємо його почленно

, .

.

Оскільки , маємо

.

Разом з тим

.

Таким чином, сума нашого ряду дорівнює

.

Відповідь: , .

Зауваження. Підставивши в даний ряд , одержимо умовно збіжний знакопочередний ряд. Таким чином його сума дорівнює

.

Хоча цей факт можна встановити безпосередньо, знайшовши границю часткової суми .

Індивідуальні завдання

Завдання 11. Знайти радіус та область збіжності ряду

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

Завдання 12. Користуючись розкладом в ряд Тейлора знайти

1.	, якщо
2.	, якщо
3.	, якщо
4.	, якщо
5.	(0), якщо
6.	(0), якщо
7.	(0), якщо у=
8.	, якщо f(x)=
9.	, якщо f(x)=
10.	, якщо f(x)=
11.	, якщо f(x)=
12.	, якщо f(x)=
13.	, якщо f(x)=
14.	, якщо f(x)=
15.	, якщо f(x)=
16.	, якщо f(x)=
17.	, якщо f(x)=
18.	, якщо f(x)=
19.	, якщо
20.	, якщо

Завдання 13.

1.	Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі точки Вказати радіус і проміжок збіжності.
2.	Розкласти функцію в ряд Тейлора по степенях Вказати проміжок збіжності.
3.	Розкласти в степеневий ряд по степенях функцію Вказати область збіжності.
4.	Розкласти в степеневий ряд в околі точки функцію . Вказати проміжок збіжності.
5.	Розкласти в степеневий ряд в околі точки функцію . Вказати проміжок збіжності.
6.	Розкласти в степеневий ряд функцію в околі точки . Вказати проміжок збіжності.
7.	Розкласти в степеневий ряд по степенях функцію: . Вказати область збіжності.
8.	Розкласти в степеневий ряд в околі точки функцію . Вказати проміжок збіжності.
9.	Розкласти в степеневий ряд функцію (в околі точки ). Вказати проміжок збіжності.
10.	Розкласти в степеневий ряд в околі точки функцію .
11.	Розкласти в степеневий ряд в околі точки функцію . Вказати область збіжності.
12.	Розкласти в степеневий ряд по степенях функцію Вказати проміжок збіжності.
13.	Розкласти в ряд Маклорена функцію . Вказати область збіжності.
14.	Розкласти функцію в ряд по степенях Вказати проміжок збіжності.
15.	Розкласти в степеневий ряд в околі точки функцію . Вказати проміжок збіжності.
16.	Розкласти в ряд Маклорена функцію . Вказати проміжок збіжності.
17.	Функцію розкласти в ряд Маклорена, використовуючи рівність: . Вказати проміжок збіжності ряду.
18.	Розкласти функцію в ряд Маклорена. Вказати область збіжності.
19.	Розкласти функцію в ряд по степенях Вказати проміжок збіжності.
20.	Розкласти в степеневий ряд функцію в околі точки . Вказати радіус збіжності.
21.	Розкласти функцію в степеневий ряд в околі точки . Вказати проміжок збіжності.
22.	Розкласти в степеневий ряд в околі точки функцію . Вказати область збіжності.
23.	Функцію розкласти в ряд Маклорена, користуючись формулою . Вказати проміжок збіжності.
24.	Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі точки Вказати радіус і проміжок збіжності.
25.	Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі точки Вказати радіус і проміжок збіжності.
26.	Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі точки Вказати радіус і проміжок збіжності.
27.	Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі точки Вказати радіус і проміжок збіжності.
28.	Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі точки Вказати радіус і проміжок збіжності.
29.	Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі точки Вказати радіус і проміжок збіжності.
30.	Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі точки Вказати радіус і проміжок збіжності.

Завдання 14. Знайти перші п’ять членів розвинення в ряди розв’язків рівнянь, що задовольняють початковим умовам:

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.		26.
27.		28.
29.		30.

Завдання 15.

1.	Обчислити з точністю
2.	Обчислити з точністю
3.	Обчислити з точністю
4.	Обчислити з точністю
5.	Обчислити з точністю
6.	Обчислити з точністю
7.	Обчислити з точністю
8.	Обчислити з точністю
9.	Обчислити з точністю
10.	Обчислити з точністю
11.	Обчислити з точністю
12.	Обчислити з точністю
13.	Обчислити з точністю
14.	Обчислити з точністю
15.	Обчислити з точністю
16.	Обчислити з точністю
17.	Обчислити з точністю
18.	Обчислити з точністю
19.	Обчислити з точністю
20.	Обчислити з точністю
21.	Обчислити з точністю
22.	Обчислити з точністю
23.	Обчислити з точністю
24.	Обчислити з точністю
25.	Обчислити з точністю
26.	Обчислити з точністю
27.	Обчислити з точністю
28.	Обчислити з точністю
29.	Обчислити з точністю
30.	Обчислити з точністю

Завдання 16. Знайти суму ряду, користуючись почленним інтегруванням або диференціюванням ряду.

1.			2.
3.			4.
5.			6.
7.			8.
9.			10.
11.			12.
13.			14.
15.			16.
17.			18.
19.			20.
21.			22.
23.			24.
25.			26.
27.			28.
29.			30.

Завдання 17. Обчислити суму ряду. Визначити область збіжності. Знайти суму числового ряду, якщо він збіжний, який одержується з даного ряду при , , де - середина інтервалу збіжності, - радіус збіжності.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

Завдання 18. Обчислити , якщо

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

Завдання 19. Радіус збіжності ряду дорівнює . Знайти радіус збіжності ряду.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

Завдання 20. Знайти радіус збіжності ряду , якщо

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

Завдання 21. Нехай ряд має радіус збіжності . Розвинути в степеневий ряд функцію

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.	,
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.	,	20.