Производная неявно заданной функции.
Если функция задана уравнением y=f(x), разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде.
Под неявным
заданием функции
понимают задание функции в виде уравнения
,
не разрешенного относительно y.
Всякую явно заданную функцию y=f(x) можно записать как неявно заданную уравнением f(x)-y=0, но не наоборот.
Замечание:
Если неявная функция задана уравнением
,
то для нахождения производной от y
по x
нет необходимости разрешать уравнение
относительно y:
достаточно
продифференцировать это уравнение по
x,
рассматривая при этом y
как функцию x,
и полученное затем уравнение разрешить
относительно
.
Пример:
Найти производную функции y,
заданную уравнением
.
.
Функция, заданная параметрически.
Пусть зависимость
между аргументом х и функцией у задана
параметрически в виде двух уравнений:
,
где t
– вспомогательная переменная, называемая
параметром.
Имеем обратную
функцию
.
Считая, что функции дифференцируемы,
получаем:
,
а по правилу дифференцирования сложной
функции имеем:
.
.
Пример:
Пусть
.
Найти
.
.
Производные высших порядков явно заданной функции.
Производная
функции
есть
также функция от ч и называется производной
первого порядка.
Если функция
дифференцируема, то ее производная
называется производной
второго порядка
и обозначается
,
т.е.
.
Производная от
производной второго порядка, если она
существует, называется производной
третьего порядка
и обозначается
,
т.е.
.
Производной n-го
порядка называется
производная от производной (n-1)-го
порядка:
.
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Пример.
Найти производную 5-го порядка функции
.
,
,
,
,
,
. . . ,
.
Производные высших порядков неявно заданной функции.
Пусть функция
y=f(x)
задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0.
Продифференцировав это уравнение по x
и разрешив полученное уравнение
относительно
,
найдем производную первого порядка.
Продифференцировав по x
первую производную, получим вторую
производную от неявной функции. В нее
войдут x,
y
и
.
Подставляя уже найденное значение
в выражение второй производной, выразим
,
через x
и y.
И т.д.
Пример:
Найти
,
если
Дифференцируем
уравнение:
по
x
:
,
.
Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.
Пусть функция
y=f(x)
задана параметрическими уравнениями:
Как
известно, первая производная
находится по формуле:
.
Найдем вторую производную от функции заданной параметрически:
.
Аналогично:
,
. . .
Пример:
Найти
вторую производную функции
,
Гиперболические функции.
-
гиперболический синус;
-
гиперболический косинус;
-
гиперболический тангенс;
-
гиперболический котангенс.
Основные формулы зависимости:
;
;
;
;
;
.
Производные гиперболических функций:
;
;
;
.