§47. Способ условий с дополнительными неизвестными

Другим широко распространенным комбинированным способом уравнивания является так называемый способ условий с дополнительными неизвестными, предложенный Ф. Гельмертом.

Он позволит упростить составление условных уравнений, хотя и увеличивает их число. Это достигается путем введения в уравнения t неизмеряемых величин, называемых дополнительными неизвестными, при этом число условных уравнений будет равно r' = r +t.

Так, если в сети треугольников (см. рис. 70) не был измерен какой-либо угол, например Y_у, то, введя его как неизвестное, составим r' = n -k +t = 8-4+1=5 условных уравнений. Дополнительные неизвестные в виде поправок ориентирующих углов и координат узловых точек вводят при уравнивании полигонометрических сетей [см. (4.67)], что упрощает вид условных уравнений.

Приведем кратко теоретические основы уравнивания этим способом. В отличие от коррелатного способа пусть имеем исходную систему уравнений связи числом r'-r+t

(5.47)

где Y_i и Z_j - истинные значения измеренных величин и неизмеряемых неизвестных. Приводя уравнения (5.47) к линейному виду, получим

(5.48)

где, как и ранее в коррелатном способе, a_i, b_i…g_i - частные производные функций по Y_i и вычислены при Y_i=y_i а коэффициенты

Величины - приближенные значения неизвестных, вычисляемые, как правило, по измеренным значениям y_i. Невязки

В матричной форме уравнения (5.48) можно записать таю

(5.49)

где матрицы

Решая уравнение (5.49) под условием Ф=V^TPV=min, составляем функцию Лагранжа

Далее находим производные

Приравнивая их нулю, получим, как и в коррелатном способе,

(5.50)

и дополнительно уравнение

(5.51)

Подставив уравнение (5.40) в (5.49) и объединив результат с уравнением (5.51), окончательно будем иметь систему уравнений

(5.52)

с симметричной матрицей коэффициентов

(5.63)

С матрицей такого вида мы уже встречались в параметрическом способе с условиями в предыдущем параграфе. В подробной записи

(5.53) имеет вид (при=1).

Общее число уравнений здесь равно s = r' +t =r +2t.

Решая систему (5.52) тем или иным способом, находим поправки , коррелаты k_h и далее поправки

(5.54)

Уравненные величины будут равны

Окончательным контролем решения задачи будут равенства

(при условии, когда коэффициенты системы (5.52) вычислены правильно, достаточно проверить условие Wh, = 0, где Wh-невязки, вычисленные по уравненным значениям yi и zi).

В этом способе уравнивания, так же как и в коррелатном, справедливы контрольные формулы

причем

Систему (5.53) можно решать в матричной форме по формулам

(5.55) или

(5.55)

или

(5,56)

где

Из формулы (5.56) находим вектор и далее согласно формулам (5.55) вектор коррелат. Можно также применить формулы

(5,57)

Оценка точности.

1. Среднюю квадратическую ошибку единицы веса вычисляем по формуле

2. Для оценки точности уравненных неизвестных вычисляем, как и в параметрическом способе, обратную матрицу

Причем

(5.59)

является матрицей весовых коэффициентов величин . Ее можно получить в схеме Гаусса, как и в параметрическом способе (причем матрицу можно не вычислять). Веса и можно получить по формулам вычисления весов последнего и предпоследнего неизвестного.

3. Для оценки точности любой функции уравненных величин

ее приводят к линейному виду где

где

Величина f₀, для оценки точности не нужна. Далее в схему Гаусса добавляют столбец

Обратный вес получают в виде алгоритма если же известна обратная матрица (5.58), то применяют формулу [7]

(5.60)

аналогичную (4.49) при коррелатном способе. Решим следующую задачу.

5.19. Уравнять по способу условий с дополнительными неизвестными сеть триангуляции (см. рис. 51), если угол Yi не был измерен. Исходные данные взять из задачи 4.23.

Решение. В этом построении возникают условные уравнения:

а) фигур

б) жесткого угла

Таблица 147

Номера измеренных углов			Коэффициенты				Поправки
	a	b	c	d	lr	fi
1	1				1,00	-1,00	2,70
2	1			1			-2,36
3	1				-1,80	1,80	-0,34
5		1		1		1,46	0,74
6		1			-0,79		1,90
7			1		3,15		-3,75
8			1	1			-1,58
9			1		-2,26		0,83
k	1,858	1,236	-1,083	-0,498	-0,846	[v2]	= 34,38

в) базисное

(5.61)

Для составления последнего уравнения угол yi можно выразить по формуле y₄ = 180° - y₅ –у₆. Однако для упрощения составления базисного уравнения этого делать не будем и введем дополнительное неизвестное Z = Y₄. Тогда к условным уравнениям фигур следует добавить уравнение

Базисное условное уравнение совпадет с уравнением (5.61). Перепишем его в виде

Если в качестве приближенного значения Z⁽⁰⁾ принять известное нам значение y₄, то невязки всех условных уравнений совпадут с теми, которые получены при решении задачи 4.23 (если бы угол не был известен, то мы его приняли бы равным 180- y₅ –у₆).

Систему (5.52) составим с помощью табл. 147.

Матрица B^T = (0 1 0 0 1,46).

Таким образом, система уравнений (5.52) имеет матрицу (симметричную)

На ЭВМ “Наири-К” получена обратная матрица

С вектором свободных членов W=(+5,4 -7,1 +4,5 3,2 10,8 0)^T по формуле

находим вектор коррелат К = (-1,858 -1,236 -1.083 -0.498 -0.846) и поправку = +4,456.

Величина -[kw] => 34,41.

Таблица 148

Номера треугольников	Номера углов	Уравненные углы
1 2 3	1 2 3  4 5 6  7 8 9 	64°35'58,2" 65 53 42,8 49 30 19,0 180 00 00,0 w1=0 55°19'49,7" 55 12 15,8 69 27 54,5 180 00 00,0 w2=0 33°44'15,7" 103 13 41,8 43 02 02,5 180 00 00,0 w3=0

Таблица 149

Номера углов	Уравненные углы
2 5 8	65°53'42,8" 55 12 15,8 103 13 41,8
	224 19 40,4

Известный угол 224 19 40,5 w'=0,1

Таблица 150

Номера углов	Уравненные угли	lg sin у.	Номера углов	Уравненные углы	lg sin у.
1 4 7	64°35'58,2" 55 19 49,7 33 44 15,7	-0.0441528 -0.0838922 -0.2554007	3 6 9	49°30'19,0" 69 27 54,5 43 02 02,5	-0.1189203 -0.0285113 -0.1659402
		3.3295004 2.9450547			3.2584263 2.9450545

w'=2*10^-7

Поправки v_i вычислены в табл. 147 по формуле (5.54). В табл. 148 вычисляем уравненные углы и остаточные невязки треугольников. В табл. 149 и 150 вычислены остаточные невязки условий известного угла и базисного.

Оценка точности.

1. Средняя квадратическая ошибка измерения

2. По формуле (5.60), учитывая, что

Находим

Далее вычисляем

(в задаче 4.23 получено m_s/s = 1/61 000).

3. Средняя квадратическая ошибка неизвестного Z (угла y₄)

(величина 1,195 есть взятый со знаком «+» последний диагональный элемент матрицы , что следует из (5.58).

В предыдущей задаче решить систему уравнений (5.52) и выполнить оценку точности функций по схеме Гаусса и методом квадратных корней.

Выполнить уравнивание по способу условий с дополнительными неизвестными в условиях задач 4.23, 4.26 и 4.27, приняв соответственно неизмеренными углы у₉, y₂, у₁.

Способ условии с дополнительными неизвестными применяют для уравнивания геодезических сетей при наличии в измерениях систематических ошибок, которые вводят как дополнительные неизвестные [при параметрическом способе уравнивания их также вводят в качестве неизвестных (см. § 33)].

Так, например, полагая, что в условиях задачи 4.23 каждый угол был отягощен постоянной систематической неизвестной нам ошибкой с, получим условные уравнения

(5.62)

Допустим, что измеренные углы получены равными y_i +с, где с=1", a y_i приведены в задаче 4.23. Тогда будем иметь новые невязки

что следует из уравнений (5.62).

Как и в задаче 4.21, получим матрицу

Матрица Р = (3333 0,76), что также следует из системы (5.62). Обращая матрицу

на ЭВМ «Наири-К», получим матрицу

Далее вычисляем вектор

По формуле (5.54) находим поправки

Уравненные значения углов будут

Следовательно, при уравнивании триангуляции постоянная систематическая ошибка полностью погашается. Этот вывод можно получить и теоретическим путем.

Заметим, что вычисленная величина с = -1,3" оказалась достаточно близкой к с = 1" даже при небольшом числе избыточных измерений,

Оценка точности.

1. Величина [vv] = -[kw] = 42,40.

Средня квадратическая ошибка Здесь r = n -k = 4,

так как k = 4 +1 = 5.

Отметим, что если величины y_i получены не искаженными систематическим» влиянием, то средняя квадратическая ошибка m_c искажена максимально и характеризует не точность самих измерений в смысле оценки дисперсии D = М[(Х -М_х)²], а точность результатов измерений относительно их истинных значений, т, е. D = М[(Х -Х_ист)²]. Поэтому можно написать , откуда

Напомним, что в задаче (4.2) получено

Средняя квадратическая ошибка

Как и в предыдущей задаче, найдем . При этом

i

Согласно формуле (5.60) вычисляем

Далее

и

5.22. Решить систему (5.62) по системе Гаусса с оценкой точности функции и величины .

5.23. Уравнять по одному из вариантов задач 4.23, 4.26, 4.27 углы, исказив их систематической ошибкой по указанию преподавателя.