§46. Параметрический способ с зависимыми параметрами

В главах 3 и 4 мы рассмотрели два основных способа уравнивания - параметрический и коррелатный. В практике уравнительных вычислений встречаются случаи, когда с целью упрощения вычислений применяют комбинации этих способов. Одним из них является параметрический способ с зависимыми параметрами (условиями). В отличие от математической постановки задачи уравнивания параметрическим способом пусть теперь в качестве параметров выбраны не k необходимых неизвестных, не связанных никакими точными математическими зависимостями, а m> k неизвестных , образующих вектор , который должен удовлетворять матричному условию

Таким образом, теперь мы имеем приведенную к линейному виду систему уравнений поправок и условных уравнений

(5.32)

(5.33)

Ясно, что число r условных уравнений должно быть равно разности r=m-k (оно, конечно, не равно числу избыточных измерений). Например, если в полигонометрическом ходе в качестве параметров выбрать не поправки координат определенных пунктов, а поправки приращений координат, то последние будут связаны двумя простыми условными уравнениями

(5.34)

здесь r = 2 (s+1) -2s = 2.

Уравнения поправок для результатов измерений проще составить относительно поправок приращений координат, чем координат, хотя в этом случае и добавляются уравнения (5.34).

Решая уравнения (5.32) и (5.33) под условием составляем функции

где К -вектор коррелат, а после дифференцирования ее по х для определения минимума приходим к уравнению откуда находим

(5.35)

или с учетом (5.32)

(5.36)

где, как и ранее, матрица

Объединяя (5.36) и (5.33), получаем систему уравнений

(5.37)

В подробной записи, обозначив коэффициенты и свободные члены уравнений поправок (5.32), и коэффициенты условных уравнений - через будем иметь систему уравнений (приняв для простоты p_i -1):

I

…………………………………………………………..

………………………………………………………….

Как видно, эта система из-за наличия нулевого блока перед коррелатами в г последних уравнениях не является нормальной гаусвовой системой, но обладает свойством симметричности коэффициентов и может быть решена в схеме Гаусса или метода квадратных корней (в последнем случае придется иметь дело с мнимыми числами). G применением ЭВМ систему (5.37) целесообразно решать следующим образом. Из первого уравнения находим вектор

(5.38)

где

Подставив выражение (5.38) во второе уравнение (5.37), найдем

или

(5.39)

где матрица , а вектор

Заметим, что такая форма уравнивания известна как двухгрупповой способ Бесселя. При этом сначала решают нормальное уравнение , не обращая внимания на коррелаты в (5.37), находят вектор х и матрицу Q, как рассмотрено в § 28, затем по исправлении измерения вычисляют вектор невязок, совпадающий с вектором W, и матрицу N (см. также § 47).

Оценка точности. Необходимая для вычисления средней квадоатической ошибки единицы веса - квадратическая форма вычисляется по формуле

Оценка точности приведенной к линейному виду функции уравненных неизвестных F = fx +f₀, как и в параметрическом способе, выполняется по формуле

причем все коэффициенты

При решении задачи на ЭВМ для оценки точности всех уравненных неизвестных х_j(j = 1, 2, ..., m) находят матрицу весовых коэффициентов

(5.40)

которая является также верхним левым блоком обратной матрицы

Тогда обратный вес любой функции можно найти по формулам

для совокупности нескольких функций, аналогичных (3.49). Для иллюстрации теории способа решим следующую задачу.

5.13. Уравнять в условиях задач 3.38 и 3.27 измеренные углы в сети триангуляции, приняв в качестве неизвестных дирекционные углы сторон. Оценить точность уравненных длины стороны CD и всех дирекционных углов.

Решение. Возникающие в этом случае уравнения поправок приведены на стр. 186, а на стр. 172 – матрица

и вектор свободных членов

Величина [ll] = 165,74.

Уравнение, связывающее неизвестные поправки дирекционных углов, примет вид базисного условного уравнения

(5.42)

в котором измеренные углы y_i выражены как разности дирекционных углов.

После логарифмирования получим , а для приведения левой части к линейному виду находим частные производные

оде -значения углов, вычисленных по приближенным дирекционным углам. Уравнение (5.42) теперь примет вид

(5.43)

c невязкой

(5.44)

Для уравниваемой сети получим

(5.45)

Можно указать следующее правило образования коэффициентов при поправках они равны сумме котангенсов углов, примыкающих к стороне j и участвующих в передаче длины сторон по цепочке, причем если углы расположены по одну сторону от нее, то сумма берется со знаком «+», если по разную, то со знаком «-».

Для вычисления коэффициентов удобно пользоваться калькуляторами (например, «Электроника БЗ-21»), используя метод накопления. Применительно к задаче3.38 вычисляем приближенные углы

и далее составляем табличку

Номера дирекционных углов	1	2	3	4	5
Номера углов	1,3	1,6	4,6	4.9	7.9
Коэффициенты	1,329	-0,849	1,066	1,763	2,586

Невязку вычисляем по формуле (5.44), но не по измеренным углам, а по углам также с помощью калькулятора или по программе (см. прил. XIII.7). С нашими данными, учитывая, что

и

Итак, условное уравнение имеет вид

Нетрудно убедиться, что коэффициенты этого уравнения получаются из (4.75) путем замены поправок углов через поправки дирекционных углов и изменения знаков. Таким образом, получаем систему, аналогичную системе (5.37):

(5,46)

Ее можно решить, применяя схему Гаусса. В этом случае к табл. 49 добавится еще одно эквивалентное и элиминационное уравнение. Однако здесь мы применим иной способ решения, воспользовавшись знанием обратной матрицы Q = R^-1, полученной в задаче 3.27 и равной

Вектор , который обозначим через , уже получен при решении задачи 3.27 и равен (см. табл. 47)

Поэтому . Далее согласно формуле (5.38), учитывая, что матрица В = (1,329 -0,849 1,066 -1,763 2,568), получим

(вычисления выполнены по программе прил. XIII. 11 для «Электроники БЗ-21»),

Матрица

Невязка

Из решения уравнений (5.39) 4,813k +6,028 = 0 находим коррелату к = -1,252 и далее вектор

Поправки в углы вычисляем аналогично тому, как это сделано в задаче 3.27. В результате получаем вектор поправок V = Ах +L = (-2,1 -2,8 -0,5 2,0 +1,7 +3,4 -28 -2,1 +0,4)^т, совпадающий с вектором поправок, вычисленным в задаче 3.38, что и должно быть. О правильности вычислений говорят также выполнения равенств (5.35).

Оценка точности.

1. Величина

Средняя квадратическая ошибка

2. Согласно формуле (5.40) найдем матрицу весовых коэффициентов уравненных дирекционных углов. Будем иметь

Искомая матрица

В частности, для дирекционногоугла а3 = х3

3. Дли оценки точности длины стороны CD составляем функцию

или

Приводя ее к линейному виду, найдем

где

поэтому

Изучающимпредлагается самостоятельно сформулировать правило вычисления коэффициентов f_i-. Далее согласно формуле (5.41) по программе (см. прил. XIII. 11) находим

Так как оцениваемая "функция

, то

Средняя квадратическая ошибка

Поэтому

(в задаче 4.23 эта же величина получена равной 1/61 000).

Решить систему уравнений (5.46) в схеме Гаусса, выполнив также оценку точности тех же функций, что и в предыдущей задаче.

Решить систему (5.46) по методу квадратных корней.

Составить в общем виде уравнения поправок для измеренных длин сторон, дирекционных углов и направлений, если в качестве неизвестных принять приращения координат.

Сколько условных уравнений возникает при уравнивании вставки в угол (см. рис. 71) при таком выборе параметров? Ответ. 6 условных уравнений вида

в каждом из трех треугольников.

5.17 Выполнить уравнивание углов параметрическим способом с условиями, приняв в качестве неизвестных приращения координат в условиях задачи 4.23 и не принимая во внимание треугольник с углами 7, 8, 9.

Выполнить уравнивание углов этим же способом в условиях задачи 4.25, приняв в качестве параметров дирекционные углы сторон.