§45. Способ крюгера – урмаева

Как мы уже отмечали, цель применения двух группового способа уравнивания заключается в уменьшении числа совместно решаемых уравнений. При этом общая система уравнений распадается на две не связанные между собой системы. Это дает возможность распределить вычисления на нескольких исполнителей или сэкономить память ЭВМ. Вместе с тем, двухгрупповое уравнивание требует преобразования коэффициентов условных уравнений второй группы. Поэтому его применение будет эффективным, если этот процесс не требует трудоемких вычислений. Учитывая это, в первую группу относят те условные уравнения, которые не содержат общих поправок. Тогда уравнивание в первой группе сводится к независимому решению каждого условного уравнения и применению простых формул для вычисления преобразованных коэффициентов условных уравнений второй группы.

Наиболее прост двухгрупповой способ применительно к уравниванию сетей триангуляции, в которых измерены отдельные углы (его называют способом Крюгера-Урмаева). В самом деле, если в первую группу отнести условные уравнения фигур треугольников, не содержащих общих углов, то для каждого j-го треугольника будем иметь условное

(5.26)

и нормальное

(5.27)

уравнения (здесь знак  означает суммирование поправок тех углов, которые содержатся в j-м треугольнике). Решая уравнение (5.27), находим коррелату k_j = -w_j/3 и первичные поправки

(5.28)

Таким образом, уравнивание в первой группе сводится к распределению угловой невязки каждого треугольника поровну на все его* углы.

Во вторую группу относим все остальные условные уравнения,. При этом для матрицы N₁₂ (5.13) получены выражения

в соответствии с выражением (5.15) (так как матрица N^-1 =1/3Е, где Е -единичная матрица порядка r) находим матрицу вспомогательных множителей и далее элементы матрицы В₂

или

(5.29)

Опустив здесь индексы у сумм, мы предполагаем, что они вычисляются отдельно в каждом треугольнике, а означают сумму коэффициентов при поправках углов, которые входят в этот треугольник. Аналогично для оцениваемой функции получены преобразованные коэффициенты Контролем вычислений служат равенства [А]=[В]=...=[G]=[F] = 0, вытекающие из условия (5.6). Выполнение этих равенств сразу следует из (5.29), так как коэффициенты Ai Вi, ..., Gi суть уклонения от (простой арифметической средины (см. § 20).

При уравнивании геодезического четырехугольника условные уравнения фигур, которые относят в первую группу, имеют вид (см. рис. 72).

В этом случае первичная поправка будет равна

(5.30)

а коэффициенты условных уравнений второй группы (фигуры и полюсного) в отличие от (5.29) необходимо вычислять по формулам

(5.31)

Двухгрупповой коррелатный способ уравнивания применяют при уравнивании одиночных полигонометрических ходов и сетей с исходными дирекционными углами на узлах. В этом случае первичная поправка в каждый угол хода равна , а преобразование условных уравнений второй группы сводится к вычислению центральных координат отдельно в каждом ходе (см. § 44).

5.9. Выполнить двухгрупповое уравнивание углов, измеренных в центральной системе, по условиям задачи 4.26.

Решение. Воспользуемся результатами вычислений, выполненных в задаче 4.26. Отнеся в первую группу четыре условных уравнения фигур, согласно (5.28) получаем первичные поправки:

Предварительно уравненные углы приведены в табл. 140.

Коэффициенты условных уравнений второй группы (горизонта и полюсного), очевидно, будут теми же, что и в задаче 4.26. Для вычисления преобразованных невязок этих условных уравнений воспользуемся предварительно уравненными углами (см. табл. 140 и 141)

Таблица 140

Номера углов	Измеренные углы yt	Первичные поправки	Предварительно уравненные углы	Вторичные поправки vt	Секунды уравненных углов
1 2 3	147°40'06,2" 12 48 13,6 19 31 44,9	-1,6" -1,6 -1,5	147°40'04,6" 12 48 12,0 19 31 43,4	+1,3" -4,8 +3,5	05,9 07,2 46,9
 4 5 6	180 00 04,7 73 43 55,2 58 36 48,8 47 39 15,8	-4,7 +0,1 +0,1 0,0	180 00 00,0 73 43 55,3 58 36 48,9 47 39 15,8	0,0 -0,9 +0,5 +0,4	00,0 54,4 49,4 16,2
 7 8 9	179 59 59,8 67 23 18,7 67 16 22,0 45 20 20,7	+0,2 -0,5 -0,5 -0,4	180 0 0,0 67 23 18,2 67 16 21,5 45 20 20,3	0.0 -1,0 +0,4 +0,6	0,0 17.2 21,9 20,9
 10 11 12	180 0 1,4 43 24 13,4 86 26 43,0 50 09 06,5	-1,4 -1,0 -1,0 -0,9	180 0 0,0 43 24 12,4 86 26 42,0 50 09 05,6	0,0 -1,5 +0,8 +0,7	0,0 10,9 42,8 06,3
	180 0 2,9	-2,9	180 0 0,0	0,0	0,0

Таблица 141

Номера углов	Углы	lg sin	номера углов	Углы	lg sin
2 4 7 10	|2°48'12,0" 73 43 55,3 67 23 18,2 43 24 12,4	9345 580,0 9982 254,0 9965 263,9 9837 039,6	3 6 9 12	19°31'43,4" 47 39 15,8 45 20 20,3 50 09 05,6	9524 109,6 9868 700,3 9852 039,2 9885 215,3

Номера углов	Углы у'
1 5 8 11	147°40'04,6" 58 36 48,9 67 16 21,5 86 26 42,0
	359 59 57,0, w4 =-3,0"

Таким образом, условные уравнения второй группы с непреобразованными коэффициентами, но преобразованными невязками будут

Коэффициенты и невязка полюсного уравнения выражены в ед. 5-го знака логарифма.

Далее согласно правилам двухгруппового способа уравнивания Крюгера-Урмаева вычисляют преобразованные коэффициенты Ai и Bi условных уравнений второй группы и функции (табл. 142).

Для удобства вычислений коэффициенты и невязка условного уравнения горизонта увеличены в три раза. Вычисления выполнены по формулам (5.29).

Ниже составлены нормальные уравнения второй группы.

Таблица 142

Номера углов	Не преобразованные коэффициенты			Преобразованные коэффициенты
				A	B	F	c	v"
1 2 3	3	+0,93 -0,59	+0,33 +0,93	+2 -1 -1	-0,11 +0,82 -0,70	-0,09 +0,51 -0,42	+1,80 +0,33 -2,12	1,29 -4,79 +3,44
		+0,34	+1,26	0	+0,01	-0,00	+0,01	-0,06
4 5 6	3	+0,06 -0,19		-1 +2 -1	+0.10 +0,04 -0,15		-0,90 +2,04 -1,15	+0,89 +0,47 +0,46
		-0,13		0	-0,01		-0,01	+0,04
7 8 9	3	+0,09 -0,21		-1 +2 -1	+0,13 +0,04 -0,17		-0,87 +2,04 -1,17	-1,05 +0,47 +0,57
		-0,12		0	0,00		0,00	-0,01
10 11 12	3	+0,22 -0,18		-1 +2 -1	+0,21 -0,01 -0,19		-0,79 +1,99 -1,19	-1,49 +0,74 +0,68
		+0,04		0	+0,01		+0,01	-0,07
w	-9,0	+7,31	w-9,0 k+0,346		+7,31 -5,418	-1,69=[w] -42,72=[kw] [v”v”]=42,54

Таблица 143

kA	kB	w		F	s	Контроль
24,00 -1 (0,41667)	-0,13 +0,0054 1,34 -1	-9,00 +0,375 +7,26 -5,418	14,87 -0,620 8,60 -6,418	-0,27 +0,0112 +0,72 -0,537	23,60 -0,9833 +2,06 -1,537	23,60 -0,9833 2,06 -1,537
K 60,346 K 0,654	-5,418 -6,418	-42,71	-42,70	+0,050	+0,050
1	1	[v”v”]

Нормальные уравнения второй группы будут:

Их решение представлено в табл. 143.

Вторичные поправки вычислены по формуле в табл. 142 и с округлением перенесены в табл. 140. Контролем их вычисления является выполнение в пределах точности вычислений для каждого треугольника равенств [v"] = 0. В ней же вычислены окончательно уравненные углы.

Окончательный контроль вычислений здесь ,опущен, так как он выполнен в задаче 4.26. Это нее относится и к оценке точности измерений и их функций. Здесь вычислим лишь величину

5.10 В задаче 5.9 убедиться в справедливости равенства (5.23), вычислив [vv] непосредственно.

Решить двухгрупповым способом задачу 4.27.

Решение. Вычисления начинаем с составления табл. 144, в которой вычисляем первичные поправки углов по формуле (5.30), относя в первую группу условные уравнения фигур треугольников 1 и 2, не содержащих общих углов.

Эти поправки находят из любых двух неперекрывающихся треугольников, например из первого и второго. Для одиночных углов этих треугольников первичная поправка равна одной четверти невязки треугольника, взятой с обратным знаком. На двойные углы берется сумма поправок углов, входящих в двойной угол. Поправка, не равная точно одной четверти невязки, вносится в наибольший угол. Например, во втором треугольнике, невязка которого оказалась +2,1", поправка в первый (наибольший) угол равна -0,6", во второй -0,5' и для суммы углов 7+8 взята -1,0".

В третьем и четвертом треугольниках для углов уже найдены первичные поправки при распределении невязок первого и второго треугольников, остается их только ввести. После этого невязки второй пары смежных треугольников не устранятся, а лишь изменятся.

Условие фигуры для одного из этих треугольников, например 3, относят во вторую группу условных уравнений.

Свободный член полюсного уравнения вычислим с помощью вспомогательной табл. 145 на калькуляторе, применяя метод накопления, или по программе, приведенной в прил. XIII.7. Она получена равной w_B=-172 *10^-7.

Таблица 144

Номера треугольников	Номера углов	Измеренные углы		Секунды испр. углов	а	Уравненные секунды
1	2+3 4 1	86°58'55,3" 36 00 05,7 57 00 57,0	+1,0" +0,5 +0,5	56,3 06,2 57,5	-0,1" -1.1 +1,2	56,2 05,1 58,7
		179 59 58,0 w1=-2,0	+2,0	00,0	0,0	00,0
2	6+7 8 5	55 54 26,5 77 35 46,3 46 29 49,3	-1,0 -0,6 -0,5	25,5 45,7 48,8	+0,2 -0,4 -0,6	25,7 46,1 48,2
		180 00 02,1 w2=+2,1	-2,1	00,0	0,0	00,0
3	2 7 1+8	27 22 57,6 18 00 15,7 134 36 43,3	+0,5 -0,5 -0,1	58,1 15,2 43,2	+0,2 +1,7 +1,6	58,3 16,9 44,8
	2	179 59 56,6 W3=-3,4	-0,1	56,5	+3,5	00,0
4	5+6 7 4	82 29 55,0 37 54 10,8 59 35 57,7	0,0 -0,5 +0,5	55,0 10,3 58,2	-1,7 -1,5 -0,3	53.3 08,8 57,9
		180 00 03,5 w4= +3,5	0,0 2,11 [v'v']	03,5	-3,5	00,0

Таблица 145

Номера углов	Углы	Номера углов	Углы
1 3 5 7	57°00'57,5" 59 35 58,2 46 29 48,8 81 00 15,2	2 4 6 8	27°22'58,1" 36 00 06,2 37 54 10,3 77 35 45,7

Умножив ее на коэффициент , найдем .

Коэффициенты полюсного уравнения, равные , получены в задаче 4.27 и приведены в табл. 131. В ней же приведены и коэффициенты функции.

Таблица 146

Номера углов			f	А	B	F	s	"t
1 2 3 4	+2 +2	0,649 -1,931 0,587 -1,376	+0,649 -0,053 -0,053 0,132	+1 +1 -1 -1	1,167 -1,413 1,105 -0,858	0,480 -0,221 -0,221 -0,037	2,647 -0,634 -0,116 -1,895	1,20 0,19 -0,31 -1,08
				0	+0,001	0,001
5		0,949		1	0,318	0,420	-0,262	-0,65

Далее составляем табл. 146 преобразования коэффициентов условных уравнений второй группы и под ней таблицу коэффициентов нормальных уравнений. Левая и правая части первого условного уравнения увеличены в 2 раза с целью избежать дробных чисел. Невязка w_A вычислена в табл. 130.

5.12. Сделать то же самое в условиях задачи 4.28.