Глава 5. Двухгрупповые и комбинированные способы уравнивания §44. Двухгрупповой способ крюгера

С целью уменьшения числа совместно решаемых уравнений часто применяют так называемые двухгрупповые способы уравнивания. Применительно к коррелатному способу задача решается следующим образом.

Пусть общая система r условных уравнений разделена на две группы:

1 группа

(5.1)

2 группа

(5.2)

с числом r₁ и г₂ уравнений в каждой. Выполним эквивалентное преобразование системы (5.2) таким образом, чтобы преобразованная система

(5.3)

решаемая совместно с (5.1), привела к таким же значениям поправок, что и совместное решение систем (5.1) и (5.2), и так, чтобы соответствующая (5.1) и (5.3) система нормальных уравнений распалась на две не связанные общими коррелатами системы (для случая равноточных измерений):

(5.4)

и

(5.5)

Очевидно, что для этого необходимо выполнение условия

(5.6)

т. е. каждый элемент матрицы N₁₂ должен быть равен нулю. Для получения системы (5.3) согласно правилам эквивалентных преобразований прибавим к первому уравнению системы (5.2) уравнения (5.1), умноженные каждое на вспомогательные множители р_аi (i = 1, 2, ..., r₁), ко второму —эти же уравнения, умноженные на р_bi и т. д., к последнему — умноженные на p_gi .

В результате несложных действий получим преобразованные коэффициенты

(5.7)

и невязки

(5.8)

После подстановки выражений (5.7) в первый столбец матрицы (5.6) будем иметь систему нормальных уравнений

(5.9)

во второй столбец — систему

(5.10)

(5.11)

Как видно, системы (5.9) — (5.11) имеют ту же матрицу коэффициентов, что и система нормальных уравнений первой группы (5.4). Следовательно, все множители образующие матрицу

(5.12)

размера , могут быть вычислены попутно с решением системы уравнений (5.4), если к ней в схеме Гаусса присоединить дополнительные столбцы свободных членов

(5.13)

образующие матрицу N₁₂.

Можно также написать совокупность всех систем (5.9) — (5.11) в виде

(5.14)

где через N₁ обозначена матрица коэффициентов уравнений (5.4). Решая (5.14) путем обращения матрицы N₁ , напишем

(5.15)

Если матрицу коэффициентов системы условных уравнений второй группы (5.2) обозначить через В₂, а преобразованной системы (5.3) — через В₂, то вместо (5.7) будем иметь выражение

(5.16)

где B₁ — матрица коэффициентов условных уравнений группы 1. Точно так же вектор невязок

(5.17)

где вектор . Вместо (5.16) можно применять формулу

(5.18)

где

(5.19)

согласно (4.51) есть матрица обратных весов предварительно уравненных измерений.

Из независимого решения нормальных уравнений первой и второй групп находим коррелаты и далее первичные

(5.20)

и вторичные поправки.

(5.21)

Величины

(5.22)

называют предварительно уравненными измерениями. По этим величинам можно вычислить преобразованные невязки условных уравнений второй группы дол, Wb, и т. д., минуя формулы (5.8) или (5.17). Общая поправка vt = и,-+viy а величина

(5.23)

Причем справедливы контрольные формлы

Для оценки точности функций при двухгрупповом уравнивании используется формула которая приобретает вид

(5.24)

где

или -преобразованные аналогично (5.7) коэффициенты функции. Из формулы (5.24) следует, что обратный вес функции вычисляется при решении нормальных уравнений только второй группы. Вспомогательные множители находят из решения системы уравнений

При этом справедливо

Ясно, что средняя квадратическая ошибка одного измерения

а функции

5.1. В геодезическом четырехугольнике (рис. 80) выполнить преобразование полюсного условного уравнения, отнеся в первую группу все три условных уравнения фигур, составленных для треугольников ABC, BDC и CAD.

Решение. Условные уравнения фигур будут иметь вид

Приняв точку пересечения диагоналей за полюс, получим полюсное уравнение (см. рис. 80)

или, так как связующие углы y_i=45 v_i+w=0

Далее составляем табл. 136

Таблица 136

Номера углов	Коэффициенты			a	Номера углов	Коэффициенты			a
	a	b	c			a	b	c
1 2 3 4	1 1 1 1		1 1	1 -1 1 -1	5 6 7 8		1 1 1 1	1 1	1 -1 1 -1

Как видно, в этой задаче матрица

и согласно (5.15) матрица р = 0. Таким образом, матрицы , и преобразовывать коэффициенты условного уравнения второй группы не требуется.

5.2. Сделать то же самое, если углы y_i = 45° (i = 1, 2, 3, 4), y₅ =y₈ =60°, у₆ = у₇ = 30°. В этом случае матрица

B₂=(1 -1 1 -1 0,577 -1,732 1,732 -0,577)

Для матрицы

По способу Ганзена в схеме Гаусса

вычисляем обратную матрицу N:' и согласно (5.15) находим матрицу

и с помощью табл. 137 - матрицу рт В₁ и В₂ по формуле (5.16). Выполняем контроль:

5.3 В задаче 5.2 выполнить преобразование коэффициентов условных уравнений - полюсного и базисного, которое возникает, если в геодезическом четырехугольнике дополнительно измерены базисы АВ и AD.

Применительно к задаче 5.2 с помощью таблиц нормально распределенных случайных чисел смоделировать измеренные углы с точностью = 2" (в качестве истинных значений углов принять y_i = 45° (i' = 1, 2, 3, 4), у₅ = у₈-=60 и у₆ = у₇-=30

Таблица 137

Номера углов	ai	bi	ci		ai	Ai
1 2 3 4	1 1 1 1		1 1	-0,289 -0,289 +0,289 +0,289	1 -1 1 -1	+0,711 -1,289 1,289 -0,711
5 6 7 8		1 1 1 1	1 1	+0,289 +0,289 -0,289 -0,289	0,577 -1,732 1,732 -0,577	0,866 -1,443 +1,443 -0,866

Таблица 138

Номера ходов	«1	«а	S3	Номера 1 s ходов 1 *		s*	S3
1 2 3	11762 10670 11868	10558 9504 9020	8916 10866 14303	4 5	9299 12334	11807 12404	9176 8382

Выполнить уравнивание углов в группе 1 и в группе 2. Показать, что формула (5.17) дает такие же значения невязки, какие получатся, если ее вычислить по уравненным в группе 1 углам.

5.5. Вычислить преобразованные коэффициенты при _, условных уравнений координат полигонометрических ходов в задаче 3.53, в которой получены предварительно уравненные дирекционные углы сторон. Измеренные длины сторон s_i в метрах всех ходов (с учетом их направлений) приведены в табл. 138.

Решение. Так как матрица В = (1 1 ... 1), а матрица

[см. (4.66)], то N₁ = n',

И

Поэтому

где

-центральные координаты точек хода.

Вычисления на примере хода 1 выполняем в табл. 139.

Таблица 139

Номера сторон	Дирекционные углы	Длины сторон			Условные координаты
1 2 3	162°55,0' 185 58,8 156 53,2	11762 10558 8916	-11243 -10500 -8200	3455 -1100 3500	0 -11243 -21743	0 3455 2355	4489 -6011 -14211	539 -561 2939
					-29943 5855

Контроль вычислений:

Примечание. Центральные координаты достаточно вычислять с точностью до 1 м. Поэтому а( и st в таблице приведены с точностью до 0,1 и 1 м.

5.6. Доказать справедливость формул

(5.25)

Формулы (5.25) запрограммированы для калькулятора «Электроника БЗ-21» (см. прил. XIII. 15). По этой программе можно выполнить обработку равноточных и неравноточных измерений, вычислить коэффициент корреляции гху и вторые слагаемые в формуле (4.70).

5.7. Доказать, что при pt = 1 справедлива формула (см. задачу 5.6)

где r_xy -коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y.

1

5.8. Доказать, что , т. е. что обратный вес предварительноуравненных измерений является весом до уравнивания в группе 2. Убедиться в этом для функции lgs (s = CD) в задаче 5.2.