§42. Некоторые виды условных уравнений в геодезических сетях

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся виды условных уравнений, возникающих в геодезических сетях, хотя с некоторыми из них мы уже знакомы.

I. Нивелирные сети. В этом случае условные уравнения называют полигонными, так как составляют их для выбранных в сети полигонов, число которых совпадает с числом избыточных измерений и равно r=l-k, где l — число ходов, k — число узловых точек. Полигоны могут быть разомкнутые (опираться на исходные пункты) или замкнутые. В обшемвиде условное уравнение имеет вид

где ; означает суммирование поправок тех превышений, которые входят в данный полигон. Знак «+» ставится, если направления хода и полигона, совпадают, знак «—» — если направления не совпадают. Невязка

Для замкнутых полигонов , поэтому

Необходимо отметить, что полигоны не должны быть линейно зависимы между собой, т.е., ни один из них не должен являться комбинацией других. Примеры таких условных уравнений мы уже приводили в §38.

В случае если полигонные условные уравнения имеют коэффициенты ±1 или 0, нормальные уравнения можно получить, не составляя условных уравнений. При этом схему сети необходимо предварительно подготовить, пронумеровав на ней все ходы от 1 до l и полигоны от 1 до r = l — m, где т — число узловых точек. Следует выбрать также направления ходов и полигонов, по которым будут суммироваться превышения, и выписать измеренные величины (сумму углов или превышений) и обратные веса ходов (например, число углов или длины ходов). Сделав это, нормальные уравнения составляют по простым и удобным правилам, предложенным проф. В. В. Поповым:

а) квадратичные коэффициенты нормальных уравнений в строке j равны сумме обратных весов ходов, принадлежащих j-му полигону;

б) неквадратичные коэффициенты, расположенные в строке h и столбце j, равны обратному весу хода, принадлежащего полигонам h и j, причем взятому со знаком «+», если направления этих полигонов совпадают, и «—» в противном случае;

в) свободный член j-го нормального уравнения равен невязке j-го полигона.

Ясно, что каждому j-му полигону (условному уравнению) соответствует j-я коррелата.

Решив нормальные уравнения, получают все коррелаты и затем поправки в измеренные в каждом ходе величины (в сумму углов или превышений) по правилу: поправка равна обратному весу , умноженному на сумму коррелат тех полигонов, которым принадлежит i-й ход, причем если направления хода и полигона не совпадают, то коррелата берется с обратным знаком. Так, для сети (рис. 65) имеем нормальные уравнения

(4.55)

Определив из решения уравнений (4.55) коррелаты, поправки вычислим по формулам

и т. д.

Для оценки точности отметок узлов выбирают весовой полигон от исходной точки до оцениваемого узла. Дополнительный столбец в схеме Гаусса тогда получается по тем же правилам, по которым составляются нормальные уравнения. Например, если для оценки точности отметки узла I выбрать полигон, совпадающий с первым ходом, то получим

В матричной форме для элементов матрицы N нормальных уравнений коррелат можно написать формулы

При этом весовой полигон нумеруется последним. После составления матрицы N в ней нужно выделить последний столбец и строку, относящиеся к этому полигону, т. е. представить ее в виде

Обратный вес можно получить по формулам или

II. Триангуляционные построения. Линейные (угловые) условные уравнения

1) Истинные значения углов, измеренных в плоском треугольнике, должны удовлетворять исходному уравнению связи

которому согласно (4.19) соответствует уравнение

называемое условным уравнением фигуры, где невязка равна

т. е. разности между суммой измеренных углов и 180° (теоретической суммы).

2. Условное уравнение жесткого угла (например, рис.66) выражает требование и имеет вид _{, где невязка}

3. Условное уравнение горизонта, возникает на пункте, когда на нем измерены все углы, имеющие общие стороны. Это условное уравнение применительно к рис. 67 имеет вид где невязка

Если в сети измерены не углы, а направления, то условное уравнение горизонта не возникает.

2. Если в сети триангуляции содержатся жесткие дирекционные углы сторон, не имеющие общих пунктов, то возникает условное уравнение дирекционных углов. Например, для так называемой цепочки треугольников (рис. 68) оно имеет вид ,где невязка

Ясно, что все рассмотренные выше условные уравнения являются частными случаями условного уравнения дирекционных углов.

Все эти условные уравнения называют угловыми. Их число можно подсчитать по формуле r₁ = п — l, где п — число всех углов, а l — число определяемых сторон. Так, в сети (см. рис. 52), называемой вставкой в угол, r₁ = 9 — 5 = 4, в сети (рис. 69), называемой центральной системой, r₁= 9 — 5 = 4, в цепочке треугольников (см. рис. 68) r₁ = 12 — 7 = 5.

Заметим, что если в сети измерены направления, то в условных уравнениях поправки углов необходимо выразить как разности поправок направлений.

Нелинейные (синусные) условные уравнения

2. Базисное условное уравнение возникает в случае, когда в сети имеются две или более измеренные стороны (базисы). Оно выражает требование, чтобы длина одного базиса, вычисленная по уравненным углам, от другого базиса равнялась ее заданному значению. Так, например, для сети, представленной на рис. 70, последовательно по треугольникам получаем, применяя теорему синусов, длины

(4.56)

(4.57)

(4.58)

После объединения формул (4.56), (4.57) и (4.58) в одну приходим к выражению

или, после логарифмирования,

(4.59)

представляющему собой исходное уравнение связи , имеющее в отличие от всех предыдущих случаев нелинейный вид. Коэффициенты приведенного к линейному виду условного уравнения согласно обозначению (4.16) найдем по формуле

где М = 0,43 — модуль перехода от десятичных логарифмов к натуральным, а знаменатель р" = 206 265 введен по той причине, что в геодезии в углы вычисляют в угловой мере (в секундах). Величину обычно обозначают через (не путать с истинными ошибками). Так как

то величина

(4.60)

есть изменение логарифма синуса угла с изменением угла на одну секунду и может быть получена из таблиц логарифмов тригонометрических функций (обычно применяют семизначные таблицы Вега) как табличная разность d, уменьшенная в 10 раз (шаг таблиц h — 10"). Обычно достаточно , выражать в шестом знаке логарифма, поэтому

После линеаризации выражения (4.59) будем иметь условное уравнение

(4.61)

Можно указать следующее правило составления базисного условного уравнения: 1) выбираем направление подхода от базиса b₁ к базису b₂; 2) последовательно по каждому треугольнику намечаем углы, лежащие против передней и задней по ходу стороны (эти углы называются связующими, они показаны соответственно одной и двумя дугами); 3) пишем условное уравнение в общем виде, ставя знаки «+» и «—» перед соответственно тому, каким является угол y_i — передним или задним. С помощью указанных таблиц находим величины , и вычисляем невязку

(4.62)

Вычисления выполняем в специальной таблице.

Следует заметить, что в настоящее время в вычислениях широко внедряются калькуляторы (миникомпьютеры), например, такие, как «Электроника БЗ-18». Поэтому таблицы применяются все реже и реже. В этой связи уравнение (4.61) преобразуем к виду

умножив его на коэффициент

или в более общей записи

(4.63)

где через s обозначено множество связующих углов. Условное уравнение (4.63) более приспособлено для составления его с помощью мини-компьютеров*. Оно может служить также для контроля составления уравнения (4.61).

2. Так называемое полюсное условное уравнение возникает в сети триангуляции, в которой имеется замкнутая относительно ка кой-либо стороны цепочка треугольников (см., например, рис. 69). Оно составляется точно так же, как и базисное, с той разницей, что базисы b₁ и b₂ здесь совпадают с одной из сторон и поэтому в вычислении невязки их длины не участвуют (т. е. для возникновения полюсного условного уравнения совсем не должны быть измерены какие-либо стороны). Точку О называют полюсом (на этой точке могут быть из мерены все углы, хотя это и не обязательно), а направление обхода выбирают от одной из сторон, например ОА, исходящей из полюса, и к ней же подходят. Так, на рис. 69 полюсное условное уравнение также имеет вид (4.61), причем невязка

7) Координатные условные уравнения возникают в сети триангуляции, в которой имеется s изолированных групп исходных пунктов. Их число r = 2 (s — 1). Так, в цепочке треугольников (см. рис. 69)

r = 2. Они составляются по оси абсцисс и ординат и выражают требование, чтобы по уравненным углам от заданных координат X_A и Y _а пункта А (см. рис. 68) получить заданные координаты х_B и у_B пункта В.

Эти уравнения имеют более сложный вид по сравнению с базисным и полюсным и здесь не рассматриваются.

Число синусных условных уравнений можно получить по формуле

где k — общее число необходимых измерений (при уравнивании измеренных углов k равно удвоенному числу определяемых пунктов, а при уравнивании направлений — утроенному их числу плюс число исходных пунктов). Например, в сети на рис. 70 r₂ = 5 — 4 = 1 (базисное условное уравнение), в сети на рис. 69 r₂ = 5 — 4 = 1 (полюсное условное уравнение), в сети на рис. 68 r₂ = 7— 4 = 3 (одно базисное и два координатных).

В триангуляционном построении, изображенном на рис. 71, возникает всего r = 8 — 4 = 4 условных уравнения, в том числе r₁ = = 8 — 5 = 3 условных уравнения фигуры, например

(4.64) и одно (r₂ = 5 — 4) полюсное условное уравнение, например

Было бы ошибочно думать, что вместо полюсного условного уравнения можно составить еще одно условное уравнение фигуры

Дело в том, что его можно получить как линейную комбинацию условных уравнений (4.64), тогда как все условные уравнения должны быть линейно независимы.

Существуют и взаимно заменяемые условные уравнения. Так, в построении на рис. 68 условные уравнения базисное и дирекционных углов можно заменить двумя координатными условными уравнениями (составляемыми от пункта С к D) и наоборот.

Во всех случаях следует стремиться к тому, чтобы условные уравнения имели наиболее простой вид и содержали как можно меньше общих измерений (последнее обстоятельство приводит к уменьшению вычислительных погрешностей при решении нормальных уравнений).

На рис. 72 изображена сеть триангуляции. Сколько возникает в ней угловых и синусных уравнений. Какие это уравнения?

III. Полигонометрические сети. При уравнивании полигонометрических сетей условные уравнения чаще всего составляют для отдельных ходов, входящих в сеть. В каждом ходе (рис. 73) возникает три условных уравнения. Уравнение дирекци-онных углов имеет вид

где и — поправки приближенных значений узловых направлений, а невязка

Если а_иач и а_кон безошибочны, то поправки и равны нулю. Два условных уравнения координат имеют вид

(4.67)

где центральные координаты

а координаты центра тяжести хода, если углы равноточны,

(4.68)

Системе условных уравнений (4.67) при безошибочных а_нач, а_ноа и координатах концевых точек соответствует система нормальных уравнений

(4.69)

где коэффициенты (4.69)

(4.70)

а невязки равны

(4.71)

Как видно из формул (4.71), первое нормальное уравнение не связано со вторым и третьим в силу свойства центральных координат

Об уравнивании полигонометрических ходов и сетей подробно см. работу [3].

Сети трилатерации уравнивают на ЭВМ, как правило, параметрическим способом, так как возникающие в них условные уравнения составлять сложнее, чем уравнения поправок. Вместе с тем, число нормальных уравнений в них при коррелатном способе уравнивания значительно меньше. Рассмотрим, как они составляются на примере простых построений.

В сети трилатерации (см. рис. 51) возникает одно условное уравнение. В прежних обозначениях углов оно выражает требование v₂ +v₅ +v₈ +w = 0, причем поправки углов необходимо выразить через поправки измеренных сторон. Это делают в каждом треугольнике по предложению венгерского геодезиста А. Тарци-Хорнох на основании формулы

(4.72)

где s = (a +b +с)/2, причем против стороны а лежит угол а. Логарифмируя формулу (4.72), получим

Таблица 110

Номера треугольников	Номера сторон	Названия сторон	Обозначения	Длины сторон yj	Значения
1	1 ОА 2	а Ь с		1832,120 1813,119 1526,358
			s s - а	2585,799 753,678
				0,839168 32°56'51,4" —159
2	3 2 4	а Ь с		1524,054 1526,358 1737,975
			S s— а а	2394,194 870,140 0,886184 27°36'08,5" — 197
3	5 4 ОС	а Ь с	S S — С	3046,229 1737,975 2135,504
			S s— а	3459,854 413,625 0,620955 5°36'50,7" —82-103

а после дифференцирования

где

Эти величины представляют собой изменения натуральных логарифмов сторон с изменением длины стороны на единицу длины. В самом деле, можно написать , откуда следует . Эти величины можно найти с помощью таблиц логарифмов. Обозначив (это есть изменение функции с изменением на 1"), получим

(4.73)

Таблица 111

Номера треугольников	Коэффициенты
	1	2	3	4	5
1 2 3	150	—64 —51	144	—82 —127	174
	150	— 115	144	—209	174
i	—1	+1	— 1	+1	— 1

На калькуляторе вычисления удобно выполнять с помощью табл. 110, составленной для треугольников сети (см. рис. 52).

Заметим, что коэффициенты для исходных сторон не вычисляются. Далее составляем табл. 111.

Таким образом, получили условное уравнение или

где невязка

Ему соответствует нормальное уравнение

откуда

Поправки в мм приведены внизу табл. 110.

Такие же значения поправок мы получили при уравнивании этой сети параметрическим способом (задача 3.36).

В центральной системе трилатерации (рис. 74) условное уравнение примет вид

Таблица 112

Номера измерений

a

b

c

d

f1

f2

fs

s

p





+1

— 1

— 1

0

+1

+1

+1

+2

32,25

а в системе с пересекающимися диагоналями (рис. 75)

которое можно составить для любой вершины.

13. Определить, допустима ли невязка условного уравнения, составленная в рассмотренном выше примере уравнивания сети трилатерации, если стороны были измерены с точностью а = 0,02 м. Установить точность углов у₂, у₅, у₈ вычисленных по измеренным длинам сторон.

Ответ: 3,2"; 3,5"; 4".

13. В задаче 4.16 вычислить все остальные углы каждого треугольника и установить точность их определения. Найти корреляционные матрицы вычисленных углов в каждом треугольнике и углов у₂, у₅, у₈.