§41. Оценка точности функций в коррелатном способе уравнивания

Пусть в процессе уравнивания требуется оценить точность функции

(4.42)

где - уравненные результаты измерений. Приводя функцию (4.42) к линейному виду путем разложения в ряд Тейлора, получим

(4.43)

где обозначено

(4.44)

В теории коррелатного способа доказывается, что обратный вес уравненной функции выражается в виде алгоритма Гаусса

(4.46)

есть обратный вес функции, вычисленной по неуравненным измерениям. Если алгоритм (4.45) не зависит от того, как выбрана функция, т. е. по каким измерениям она вычислена, то для выражения (4.46) будем получать различные значения в зависимости от выбора измерений. Например, для обратного веса уравненной отметки репера 1 нивелирной сети (см. рис. 62) получим одно и то же значение, если вычислить ее от отметок марок /, //, /// и IV, тогда как формула (4.46) даст различные значения. Заметим также, что всегда

Для контроля вычисления применяется формула

где

а

(4.47)

Как видно, в коррелатном способе суммы (4.47) отличаются от S_i (3.29) тем, что вместо свободных членов 1₁ в них фигурируют коэффициенты функции f_i. С учетом этого схемы для составления нормальных уравнений имеют тот же вид, что и в параметрическом способе уравнивания, однако с той разницей, что столбец l заменяется столбцом f, а столбец коэффициентов функций — столбцом невязок w.

У равнивание коррелатным способом с оценкой точности функций проиллюстрируем следующим простым примером. Дано триангуляционное построение (рис. 64) с шестью измеренными углами и известными дирекционными углами сторон АВ и AD. Угловые уравнения имеют вид

Найти поправки углов v_i и обратный вес функции

Составление и решение нормальных уравнений выполняем в табл. 107—109.

Таблица 107

Номера углов	Коэффициенты				Si	Vi
	ai	bi	ci	fi
1 2 3	1 1		1	1	3 1 1	—3,4" —1,3 —1,3
4 5 6		1 1 1	1		2 1 1	-0,6 1,4 1,4
Kj	-1.32	1.42	-2.05		[vv]=	19.22

Таблица 108

	a]	b]	c]	f]	s]	Контроль		
[a	3	0	1	1	5	5	6	10
[b		3	1	0	4	4	-2.2	1.8
[c			2	1	5	5	4	8
[f				1	3	3	7.8

В табл. 108 и 109 стрелками показан порядок выполнения контролей. Так, в табл. 108 для того, чтобы получить столбец , необходимо в каждой строке из чисел столбца «контроль» вычесть числа столбца f и прибавить числа столбца невязок w.

Контролем решения этой задачи являются равенства

и соотношение .

Для вычисления средней квадратической ошибки уравненной функции применяем формулу

Обратный вес функции в решенной задаче получен равным

(4.48)

а средние квадратические ошибки

(следует, однако, иметь в виду, что их значения ненадежны из-за малого числа избыточных измерений r = 3).

В случае необходимости в схеме Гаусса можно найти обратные веса сразу нескольких функций (см. задачу 3.48).

В заключение приведем матричную форму

(4.49)

для вычисления обратного веса функции, где матрица (остальные матрицы были объяснены ранее). Для случая равноточных измерений

(4.50)

Матрица N^-1 может быть получена в схеме Гаусса точно так же, как и матрица весовых коэффициентов Q в параметрическом способе. Так, в рассмотренном примере эта матрица

Поскольку матрицы

Таблица 109 Запись

Вспомога тельные величины	k1	k2	k3			Контроль 1	f	s	Контроль 2
(0,333)	3,00 (-1)	0 0	1,00 -0,333	6,00 -2,000	10,00 -3,333	10,00 -3,333	1,00 -0,333	5,00 -1,667	5,00 -1,667
(0,333)		3,00 (-1)	1,00 -0,333	-2,2 0,733	1,80 -0,600	1,80 -0,600	0 0	4,00 - 1,333	- 1,333
(0,752)			1,33 (-1)	2,73 -2,053	4,07 -3,060	4,06 -3,053	0,67 -0,504	2,00 - 1,504	2,00 - 1,504
kj	-1,316	1,417	-2,053	-19,22	-19,16		0,329	0,327
kj	-2,314 0,998	0,419 0,998	-3,060 1,007

то

Поэтому согласно формуле (4.50)

(несовпадение с формулой (4.48) вызвано ошибками округлений при вычислениях).

Если оценивается сразу несколько, например т, функций, то матрица f имеет т строк, каждая из которых составляется отдельно для каждой функции из элементов

Тогда вместо формулы (4.49) получим

и вместо формулы (4.50)

Наконец, если функциями являются уравненные измерения, то f = Е, где Е — единичная матрица порядка п. Тогда

для неравноточных и

(4,51)

для равноточных измерении.

Так, в рассмотренном примере матрица

и матрица обратных весов уравненных углов по формуле (4.51)

13. Доказать, что матрица уравненных углов в треугольнике

(4.52)

а в n-угольнике

(4.53)

Отсюда, в частности, следует, что отношение весов уравненного и неуравненного угла

(4.64)

Равенство (4.54) в среднем выполняется для любых геодезических построений.