§40. Подсчет допустимости невязок условных уравнений

Коррелатный способ по сравнению с параметрическим обладает тем достоинством, что позволяет попутно с выполнением уравнивания обнаружить присутствие превосходящих допуски ошибок измерении путем вычисления значений допустимых невязок. Для этого перепишем выражение (4.17) в матричной форме

(4.36)

откуда следует

(4.37)

Так как коррелатная матрица вектора истинных ошибок измерений, как и самих измерений,

где Р^-1 — матрица обратных весов измерений, — дисперсия единицы веса, то, применяя обобщенную теорему оценки точности (см. § 15), получим для функции (4.36)

или с учетом (4.25')

(4.38)

иными словами, корреляционная матрица невязок равна матрице коэффициентов нормальных уравнений, умноженной на дисперсию единицы веса. Из определения корреляционной матрицы следует, что ее диагональные элементы

Таблица 105

Вспомогательные величины	k1	k2	k3	k4	k5	w		Контроль
(0,3333)	3 (-1)	0 0	0 0	1 —0,3333	—2,043 0,6810	5,4 —1,8000	7,357 —2,4523	7,357 —2,4523
(0,3333)		3 (-1)	0 0	1 —0,3333	1 —0,3333	—7,1 2,3667	—2,100 0,7000	—2,100 0,7001
(0.3333)			3 (-1)	1 —0,3333	0,057 —0,0190	4,5 —1,5000	11,557 —3,8523	11,557 —3,8523
(0,5000)				2,000 (-1)	—0,820 0,4100	2,267 —1,1335	3,447 —1,7235	3,447 —1,7235
(0,2864)					4,230 (-1)	5,588 —1,3210	9,818 —2,3210	9,818 —2,3210
kj	—2,1453	3,3653	0,4044	-1,6751	—1,3210	—43,225	—43,225
kj	—3,1412	2,365	—0,5956	—2,6751	—2,6751
Контроль	0,9999	1,0001	1,0000	1,000	1,0000

(4.39)

представляют собой дисперсии невязок. Так как измерения, как правило, подчиняются нормальному закону распределения, то можно построить доверительные интервалы для математических ожиданий невязок

(4.40)

При отсутствии систематических ошибок величины (так как из формулы (4.37) , если ). Тогда из формулы (4.40) следует

или

(4.41)

где определяется согласно уравнениям (4.39).

Напомним, что коэффициент t выбирается равным 2; 2,5 или 3, что соответствует вероятности 0,95; 0,987; 0,997.

Отметим, что для решения поставленной задачи необходимо знать величину ₀ или  (при равноточных измерениях), в качестве которых можно принять средние квадратические ошибки, если они получены надежно, например при предварительной обработке измерений или из предыдущего опыта измерений.

3. Доказать, что в параметрическом способе уравнивания корреляционная матрица свободных членов нормальных уравнений имеет вид но найти допустимые свободные члены не удается.

4. Проверить допустимость невязок условных уравнений в задаче 4.9, приняв  = 3" и t = 2.

Решение. Для полученных в этой задаче пяти невязок согласно выражениям (4.39) и (4.41) имеем

Как видно, все невязки допустимы.

Таблица 106

Номера вариантов	n1	n2	n3	Номера вариантов	n1	n2	n3
1	5	6	5	6	3	3	3
2	3	4	8	7	7	9	5
3	6	6	6	8	8	4	6
4	10	8	12	9	10	б	5
5	8	9	12	10	12	5	7

3. Проверить допустимость невязки w = 70 мм нивелирного полигона, состоящего из трех ходов с весами p_i = 1/L_i, где L₁ = 5 км, L₂ = 7 км, L₃= 10 км, если среднее квадратическое отклонение на 1 км хода ₀ = 5 мм, a t=2.

Решение. Квадратичный коэффициент нормального уравнения, соответствующего этому полигону, будет . Допустимая невязка

Ответ. Невязка недопустима.

13. Определить допустимые угловые невязки полигона полигонометриче-ской сети, состоящего из трех ходов с числом вершин n_i , по одному из следующих вариантов (табл. 106), если каждый угол измерен с точностью  = 3", а t= 2,5.

14. Определить допустимость невязок w_x и w_y условных уравнений координат в полигонах светодальномерной полигонометрической сети, если при составлении нормальных уравнений в качестве ₀ была принята величина ₀ = 0,02 м, а t = 2. Необходимые данные приведены ниже.

Невязки, м	Квадратичные коэф. N jj	Невязки, м	Квадратичные коэф. N jj
0,090	9,90	-0,26	9,33
-0,010	10	0,09	9,61
-0,150	36,09