§50. Уравнивание с учетом ошибок исходных данных

До сих пор мы рассматривали случаи, когда исходные данные (координаты пунктов, дирекционные углы и длины сторон) принимались безошибочными. Однако эти величины сами определяются из измерений и содержат ошибки, пренебречь которыми часто не представляется возможным. Поэтому возникает задача уравнивания с учетом ошибок исходных данных и исследования их влияния на элементы уравниваемой сети. Рассмотрим кратко решение этих задач при параметрическом и коррелатном способах.

Параметрический способ. Обозначим вектор поправок вновь определяемых неизвестных, как и ранее, через х, а поправок к исходным данным, которые также будем определять из уравнивания, через z. Тогда можно написать два матричных уравнения поправок [7]

(5.85)

(5.86)

Так как результаты измерений и исходные данные независимы, то имеем условие

(5.87)

где P_z - матрица весов исходных данных, полагаемая известной. Условие (5.87) приводит к системе нормальных уравнений

(5.88)

где матрица

(5.89)

а векторы

Как видно из формулы (5.89), матрица R отличается от матрицы нормальных уравнений, составляемой при обычном параметрическом способе, R -А^ТРА при А = (А₁А₂) лишь тем, что к ее нижнему блоку коэффициентов при поправках z прибавляется матрица весов этих поправок. Поэтому, не делая различия между неизвестными х и z, матрицу R можно составить обычным образом, не обращая внимания на формулу (5.86), присоединив к ней затем матрицу P_z. Последняя, вообще говоря, не является диагональной, так как исходные данные зависимы (коррелированы). Однако для упрощения вычислений ее часто принимают диагональной, что оправдано, если исходные данные значительно удалены друг от друга и корреляция между ними слаба.

Обращение матрицы (5.89) приводит к матрице весовых коэффициентов

определяемых неизвестных и исходных данных. Заметим, что если бы исходные данные были безошибочны, то . В противном случае

а также

где через - обозначено среднее квадратическое отклонение уравненных неизвестных при безошибочных исходных данных.

В силу известного критерия ничтожных погрешностей исходные данные можно считать безошибочными, если

или

(5.90)

Решим следующую задачу.

5.32. Пусть на станции между двумя заданными с точностью дирекционными углами измерены три угла y_i с точностью _i=2”. Измеренные и заданные величины углов приведены ниже. Требуется выполнить уравнивание этих углов.

Дирекционные углы	Секунды уравненных углов	Измеренные углы	Секунды уравненных углов
10° 00' 00,0" 101 01 15,2	00,4 14,8	y1=25°00'10,0" у2=35 50 50,5 y3=30 10 09,2	11,3 52,1 10,8

Решение. Вычисляем приближенные значения углов

и составляем уравнения поправок для измеряемых углов

Свободные члены . С помощью табл. 157 коэффициентов уравнений поправок составляем нормальные уравнения с матрицей

Таблица 157

Номера углов	Неизвестные				li	vi
	x1	x2	z1	z2
1 2 3	1 -1	1 -1	-1	+1	0 0 5,5	1,57 1,58 1,57
	1,96	3,54	0,39	-0,39

полагая временно Рz = 0, и вектором свободных членов

Примем в качестве дисперсии единицы веса . Тогда веса

и матрица

Поэтому матрица

Обратная матрица, полученная путем разделения на блоки,

где

(5.91)

имеет вид

(5.92)

Вектор поправок

Вычисление поправок углов выполнено в табл. 157 по формуле (5.85). Уравнивание выполнено правильно, так как Справедливы также контрольные формулы вытекающие из леммы Гаусса. Первое равенство проверить легко, а для второго с помощью табл. 157 получаем

Так как из-за малого числа избыточных измерений (r = 5 -4 = 1) вычислить ошибку р, невозможно, то, приняв ₀ = 2, находим (как видно, теоретически точность углов и в результате уравнивания повысилась )

Так как , то на основании формулы (5.90) приходим к выводу, что исходные дирекционные углы нельзя принять безошибочными.

5.33 Решить ту же задачу, приняв . Сделать вывод о возможности принять исходные углы безошибочными в этом случае.

5.34 Выполнить с учетом ошибок исходных дирекционных углов уравнивание углов в задаче 3.27, приняв ,

5.35 Для определения отметки точки к ней проложены два равноточных хода, причем первый от марки, имеющей отметку на порядок точнее, чем исходная марка второго хода. «Испортит» ли привязка ко второй марке искомую отметку?

Коррелатный способ. В этом случае условные уравнения составляются как обычно, однако с той разницей, что они, кроме поправок непосредственных измерений, будут включать и поправки исходных данных, также рассматриваемых как результаты измерений. Число условных уравнений равно числу уравнений, возникающих при безошибочных исходных данных. Обозначая поправки исходных данных через z, запишем условные уравнения в матричной форме в виде

(5.93)

Решая их под условием (5.87), получим нормальное уравнение NK+W=0, где теперь матрица

(5.94)

Как видно, при коррелатном способе число совместно решаемых уравнений то же, что и при уравнивании при безошибочных исходных данных. В этом его преимущество перед параметрическим способом.

Оценка точности функций выполняется, как и в обычном коррелатном способе, причем коэффициенты f_i(i = 1, 2, ..., n, n+1, ..., n +s, где s - число поправок исходных данных) вычисляются как производные не только по Y_i, но и по Z_h.

Матрица обратных весов уравненных исходных данных может быть получена по формуле

(5.95)

Так как N = Q_w есть матрица обратных весов невязок (см. §40), с учетом формулы (5.94) на основании критерия ничтожных погрешностей можно считать, что исходные данные тогда не искажают невязки, когда для любого i

(5.96)

5.36. Решить коррелатным способом задачу 5.32.

Решение. Условное уравнение будет

где невязка

Матрицы . Поэтому

нормальное уравнение

(3 +0,5)k -5,5 = 0. (5.97)

Так как 0,5>0,11*3, то на основании выражения (5.96) нельзя сделать вывод о пренебрегаемости ошибками исходных данных. Решая уравнение (5.97), находим k=5,5/3,5 = 1,57 и поправки

Оценим точность Функции .

Имеем матрицу Алгоритмы .

Поэтому

Аналогично для функции имеем f=(0 0 0 1 0), и

По формуле (5.95) получаем

Как видим, результаты уравнивания совпадают с теми, которые получены при параметрическом способе, но объем вычислений здесь маньше.