§49. Уравнивание при большом числе неизвестных
При уравнивании обширных геодезических сетей приходится составлять системы нормальных уравнений с большим числом неизвестных (например, порядка 500 000). Решение таких систем представляет собой сложную научную и техническую проблему даже с применением быстродействующих ЭВМ. Уменьшения числа совместно решаемых уравнений можно достичь, применяя так называемый многогрупповой способ в параметрической форме, предложенный И. Ю. Пранис-Праневичем. Для этого уравниваемую сеть делят на участки, по граничной линии которых находятся так называемые связующие пункты. Неизвестные, соответствующие этим пунктам, нумеруются последними вслед за неизвестными, относящимися к внутренним пунктам. Если обозначить векторы этих неизвестных через i и 0, то общую систему нормальных уравнений, например, для числа участков s = 3 можно записать в виде
(5.75)
Первые три уравнения называют частично независимыми, а последнее-связующим. Выражая в каждом участке неизвестные i по формуле
(5.76)
после подстановки (5.76) в связующее уравнение найдем преобразованное уравнение
(5.77)
Матрица
а вектор
Матрица
R0
может быть получена из матриц
,
составляемых в каждом участке, как их
сумма, т. е.
Тогда
где матрицы
Это означает, что каждый участок можно рассматривать как отдельную сеть, составить для нее нормальные уравнения, поставив связующие неизвестные на последние места, и исключить все внутренние неизвестные. Полученные таким образом в каждом участке преобразованные уравнения следует объединить для всей сети путем суммирования коэффициентов при одноименных неизвестных.
Далее, решая систему (5.77), находим вектор Д„ и затем в каждом участке -вектор А* согласно формуле (5.76).
Матрица весовых коэффициентов Q уравненных неизвестных получается по формулам:
(5.78)
для связующих точек,
(5,79)
для внутренних точек каждого участка,
(5.80)
для внутренних и связующих точек,
(5.81)
для внутренних точек различных участков (i, k = 1, 2, ..., s).
Для иллюстрации решим следующую задачу.
Таблица 155
Исходные марки |
Отметки, м |
Номера ходов |
hj |
Номера ходов |
hj |
M1 |
101,528 |
1 |
1,234 |
7 |
3,883 |
M2 |
105,830 |
2 |
2,482 |
8 |
6,049 |
M3 |
108,553 |
3 |
4,822 |
9 |
1,995 |
M4 |
104,342 |
4 |
0,180 |
10 |
2,118 |
|
|
5 6 |
2,504 0,915 |
11 |
1,219 |
5.28. Выполнить уравнивание нивелирной сети (рис. 81), разделив ее на два участка, показанных на рис. 82 и рис. 83. Исходные данные приведены в табл. 155. Длины ходов для простоты приняты одинаковыми.
Решение. Прежде всего в каждом участке вычислим приближенные отметки узловых точек:
в 1-м участке во 2-м участке
По
способу узлов проф. В. В. Попова (см. §
34) составляем системы нормальных
уравнений в каждом участке. Свободные
члены уравнений поправок, вычисленные
по формуле
,
выписаны на рис. 82 и 83 (в мм).
1 участок. Нормальные уравнения:
Поэтому матрицы равны
Преобразованный вектор свободных членов
Следовательно, получаем преобразованную систему нормальных уравнений
(5.82)
2 участок. Нормальные уравнения:
Как и в первом участке, матрица R2 = R1, R2.0 =R 1.0, а матрицы
Преобразованный вектор свободных членов
и преобразованная система нормальных уравнений
(5.83)
Суммируя уравнения (5.82) и (5.83), находим преобразованную связующую систему нормальных уравнений (5.77)
Решая ее путем обращения матрицы коэффициентов, получаем матрицу
(5.84)
и неизвестные
Далее по формуле (5.76) вычисляем поправки неизвестных в каждом участке
Ниже
по формуле
вычислены поправки превышений
Номера ходов |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
vi |
6,7 |
6,3 |
0,4 |
-3,6 |
6,4 |
0 |
-4,0 |
4,1 |
2,8 |
-0,1 |
-6,8 |
Контролем
вычислений является равенство которое
должно выподняться для каждого угла
Для вычисления матрицы Q согласно формулам (5.80), (5.81) находим матрицы
и далее по формуле (5.79)
Наконец, полная матрица
Преобразованные уравнения в каждом участке можно получить и в схеме Гаусса. Так, например, эти вычисления для второго участка выполнены в табл. 156.
Ее особенностью является то, что исключение неизвестных x5 и x6 не производится, а вычисляются лишь преобразованные алгоритмы Гаусса [cc.2], [cd.2], [сl.2], [dd.2], [dl.2]. Неизвестные x5 и x6 выписываются в нее после решения суммарной системы, а затем, как обычно, вычисляются неизвестные x3 и x4
Таблица 156
Вспомогат. величины |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
l |
S |
Контроль |
(0,3333) |
3,00 (-1) |
-1,00 +0,333 |
-1,00 +0,333 |
0 0 |
0 0 |
1,00 -0,333 |
1,00 -0,334 |
(0,3745) |
|
2,67 (-1) |
-0,33 0,125 |
-1,00 0,375 |
+27 -10,125 |
28,33 -10,625 |
28,33 -10,625 |
|
1,62 |
-1,12 1,62 |
-4,62 -8,88 |
-4,13 -8,28 |
|
||
xj |
0,08 |
-6,83 |
7,07 |
6,43 |
|
||
Q |
0.508 |
0.240 |
0.289 |
0.214 |
|||
0.240 |
0.508 |
0.214 |
0.286 |
||||
0.286 |
0.214 |
0.643 |
0.357 |
||||
0.214 |
0.286 |
0.357 |
0.643 |
||||
Аналогичным образом вычисляется матрица весовых коэффициентов (ее левый нижний блок Q0 получен путем обращения матрицы [R02]; дальнейшие вычисления выполняются по способу Ганзена, как обычно). Оценка точности.
1) Величина [vv] = 226,56.
Контроль вычисления [pvv] можно выполнить по формуле
где b и - соответственно векторы свободных членов и неизвестных нормальных уравнений.
В нашей задаче
Средняя
квадратическая ошибка на 1 км хода
2) Средние квадратические ошибки уравненных отметок узловых точек.
Например,
3) Средние квадратическиеошиики уравненных превышений вычисляем по формуле
где
если j и k - соответственно номера начальных и конечных точек 1-го хода.
Получить по схеме Гаусса преобразованную систему нормальных уравнений, неизвестные и матрицу Q1 для 1-го участка.
5.30 Решить предыдущую задачу без разделения сети на участки и сравнить результаты.
5.31 Выполнить уравнивание "нивелирной сети из задачи 3.52, разделив ее на два участка, отнеся в первый участок ходы 1-4, во второй – 5-8 (см. рис. 81).