§48. Уравнивание коррелированных измерений

Результаты непосредственных измерений чаще всего являются некоррелированными величинами. Но в математическую обработку могут включаться не сами измерения, а их функции, например углы, вычисленные по независимо измеренным направлениям, предварительно уравненные измерения или их функции, например дирекционные углы сторон, приращения координат и др. Поэтому возникает задача уравнивания коррелированных измерений. Во всех этих случаях необходимо знать матрицы их обратных весов Q или весов р, которые в отличие от случая некоррелированных измерений уже не будут диагональными. Метод наименьших кадров в применении к некоррелированным измерениям называют классическим, а к коррелированным - обобщенным.

При уравнивании коррелированных измерений необходимо применять матричную форму записей и вычислений. Так, параметрический способ сводится к составлению нормальных уравнений

(5.63)

где матрицы равны

(5.64)

b = A^TPL. (5.65)

Лемма Гаусса имеет вид A^TPV = 0.

В коррелатном способе имеем матричное нормальное уравнение

(5.66)

где

(5.67)

и вектор поправок

(5.68).

Как видим, основные формулы в матричной записи те же, что и в классическом способе уравнивания, с той лишь разницей, что матрица Р недиагональная. Поэтому все алгоритмы Гаусса, включающие вес, уже не имеют места. Они могут быть сохранены условно лишь с целью решения системы нормальных уравнений в схеме Гаусса и метода квадратных корней.

Легко заметить, что применение параметрического способа уравнивания требует знания матрицы Р, а коррелатного Q = Р^-1. Поэтому выбор способа зависит от того, какая матрица имеется: Р илк Q.

Таблица 151

Номера углов	Номера измерений
	1	2	3	4	5	6	•7	8	9
1 2 3 4 5 6 7 8 9	1 -0,5	1 -0,5	1	1 -0,5	-0,5 1 -0,5	-0,5 1	1	-0,5 1	-0,5 1

Таблица 152

Номера уравнений	Номера измерений
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1 2 3 4 5	1 1,00	1 1	1 -1,80	1 1,46	1 1	1 -0,79	1 +3,15	1 1	1 -2,26
6	-1,00		1,80	-1,46	1,46

Для иллюстрации решим следующие задачи.

5.24. Уравнять углы в триангуляционном построении в условиях задачи 3.39.

Решение. Используя результат решения задачи 1.225, составляем матрицу обратных весов углов, вычисленных как разности направлений, помещенную в табл. 151.

Поэтому будем применять коррелатное уравнивание. Матрицу B_f коэффициентов условных уравнений (расширенную снизу строкой коэффициентов функции f) поместим в табл. 152 (см. задачу 4.23).

Далее находим произведение B_fQ (табл. 153) и матрицу

Обратная матрица

С вектором невязок W = (5,7 -7,1 +4,5 +3,2 +10,8)т, полученным в задаче 4.23, находим вектор коррелят

По формуле V = QB^TK в таблице вычислены поправки v_i которые совпали c поправками углов, вычисленными в задаче 3.39 уравнивания направлений.

Оценка точности.

1) Величина V^TPV = -[kw] = 35,54 (для вычисления V^TPV непосредственно необходимо получить матрицу Р=Q^-1. Однако выполнять эти вычисления необязательно). Средняя квадратическая ошибка измерения одного угла

получена такой же, как и в задаче 3.39.

Таблица 153

Номера столбцов матриц BfQ
1	2	3	4	5	6	7	8	9	ki
1	1	1	0	-0,5	-0,5	0	0	0	-0,645
-0,5	-0,5	0	1	1	1	0	-0,5	-0,5	2,302
0	0	0	-0,5	-0,5	0	1	1	1	0,245
0	0,5	0	0	0	0	0	+0,5	0	2,755
1,40	0	-1,80	2,59	0	-1,29	3,15	0	-2,99	0,537
1,0	-0,73	1,80	-1,46	1,46	0,50	0	-0,73	+0,73
-2,54	23,17	0,32	1,03	2,75	3,32	-1,93	-2,77	0,21

2) По формуле

находим обратный вес функции. Величина

и

Так как s = 1524, то

5.25. Выполнить окончательное уравнивание дирекционных углов в сети триангуляции, приняв их уравненные в задаче 3.27 (только за угловые условия) значения в качестве непосредственно измеренных.

Решение. Матрица коэффициентов нормальных уравнений R, полученная в задаче 3.27, представляет матрицу весов предварительно уравненных дирекционных углов, т. е.

(5.69)

Для любой сети триангуляции ее можно составить по формулам: а) для диагональных элементов [7]

где n_j - число углов, имеющих одну из сторон с номером j;

б) для недиагональных

если между сторонами j и h измерен угол. Все остальные элементы равны нулю.

Применяя параметрический способ уравнивания, составляем уравнения поправок для дирекционных углов сторон с матрицей коэффициентов

и вектором свободных членов L с элементами

(см. задачи 3.38, 3.37 и 3.27).

Далее находим матрицу

и далее матрицы

и вектор

совпадающие с полученными в задаче 3.38. Далее, как и в задаче 3.38, находим вектор поправок координат пунктов

поправок дирекционных углов

и уравненных дирекционных углов

(предварительно уравненные дирекционные углы взяты из задачи 3.27).

По формуле Ф= V^TPV находим квадратичную форму и выполняем контроль

Все дальнейшие вычисления выполняются так же, как и в задаче 3.38.

Заметим, что в задаче 3.50 вместо матрицы Ра (5.69) была принята диагональная матрица Р_а = {2 4 2 4 2} и получены приближенно уравненные дирекционные углы

Во многих случаях пренебрежение зависимостью приводит к более существенным искажениям.

В задаче 5.13 по существу выполнено коррелатное уравнивание дирекционных углов c использованием матрицы Q = Р^-1.

Если предварительно уравненные дирекционные углы сторон получают по измеренным направлениям, то матрицу P_а составляют по формулам [7]:

а) для диагональных элементов , где = 1 или 2 соответственно для односторонних или сплошных направлений, и -соответственно числа направлений, измеренных на начальном и конечном пунктах ;

б) для недиагональных элементов , где - число направлений, измеренных на пункте k, общем для сторон j и h. Так, для сети (см. рис. 57) матрица

(5.70)

Вектор свободных членов в системе нормальных уравнений при предварительном уравнивании углов

имеет составляющие , где l_j и -свободные члены уравнений поправок прямых и обратных направлений, измеренных по стороне j.

5.26. Выполнить уравнивание измеренных направлений в условиях задачи 3.39, применяя описанный двухгрупповой параметрический способ [матрица Р имеет вид (5.70)].

Матрица R= А^TР_aА имеет вид

Обратная матрица Q = R^-1 совпадает с матрицей Q, полученной в табл. 73 задачи 3.39.

В заключение приведем формулы для обработки многократных коррелированных измерений одной и той же величины. При этом уравнивания поправок имеют вид V = Ах +L, где матрица

(5.71)

вектор

причем .

Если в качестве приближенного значения х⁽⁰⁾ принять min y_i, то по обозначениям §25

(5.72)

Нормальное уравнение будет

(5.73)

где

Учитывая выражение матрицы (5.71), найдем, что R = Р, где через Р обозначена сумма всех элементов матрицы Р. Для вектора свободных членов b=A^TPL получим, учитывая обозначение (5.72), выражение

где [p]_i - сумма элементов i-го столбца матрицы Р.

Решая уравнение (5.73), находим поправку

(5.74)

В частном случае, когда матрица Р диагональная,

Выражение (5.74) представляет собой обобщенную арифметическую средину.

Заметим, что если я(0) = 0, то

Величина 2Р есть вес обобщенной арифметической средины. Средние квадратические ошибки

а

5.27. С помощью таблиц нормально распределенных случайных чисел t_j сделать выборку объема k=10. Вычислить разности

и затем найти обобщенную арифметическую средину из величин , где с -заданная постоянная величина и ошибки и .

Указание: матрица (см. задачу 2.24)

а величины

Вычисления удобно оформлять в табл. 154, приводимой для одного из вариантов при k = 6 (с = 10).

Таблица 154

i	tj	i	xi	[p]i	vi
1	0,200	0,992	10,992	5	1,2915
2	1,192	-1,200	8,800	8	-0,9005
3	-0,008	+0,043	10,043	9	0,3425
4	0,035	+1,007	11,007	8	1,3065
5	1,042	-2,857	7,143	5	-2,5575
6	-1,815

В результате вычислений получено:

поправки

Контроль:

Так как матрица

то V^TP = (1.313 0,043 0,574 0,419 -2,347) и V^TPV = 8,403. Эту величину можно проконтролировать по формуле

но , поэтому

(формула, аналогичная в случае не коррелированных измерений). Если же x⁽⁰⁾ = 0, _i = x_i, то

Средняя квадратическая ошибка «измерения» величин _i или x_i равна

а величин t_j равна