Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
тмоги256_352.doc
Скачиваний:
7
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
4.13 Mб
Скачать

С этим обозначением систему перепишем в виде

BV +W = 0. (4.10)

Если матрицу В представить так:

(4.11)

то (4.10) в подробной записи будет иметь вид (4.2).

Пример 1. Перейти от параметрического способа к коррелатному при уравнивании трех углов, измеренных в треугольнике (рис. 61). В качестве необходимых неизвестных выберем углы 1 и 2. Тогда уравнения поправок будут

; ;

Приняв в качестве приближенных значений , где — измеренные значения углов, будем иметь свободные члены

, и

где — так называемая невязка. Поэтому

; ;

В этой системе матрицы

; ;

Поэтому согласно формулам (4.9) и (4.7) находим В = (—1 —1 —1),

w = L2 = —W и, наконец, получаем условное уравнение

или

(4.12)

Пример 2. Перейти от параметрического способа уравнивания к коррелатному в нивелирной сети (рис. 62). Здесь уравнения поправок имеют вид:

Перепишем эту систему в виде

(4.13)

Как и в предыдущей задаче, матрица

матрица

.

Поэтому матрица

.

Вектор

.

Так как свободные члены

то

,

.

Поскольку вектор V согласно расстановке уравнений в (4.13)

то получим условные уравнения

Легко видеть, что эти условные уравнения можно написать сразу, выбрав в сети три полигона и придав им направления, как показано на рис. 62.

Ясно, что можно получить и иное решение задачи, если в первую группу отнести иные уравнения поправок, например для v1 и v3,, v1

и v5 и др. В зависимости от этого будем получать и иные условные уравнения. Число s таких систем условных уравнений совпадает с определителем матрицы [6], т. е. s = det , где — матрица коэффициентов нормальных уравнений, составляемых по способу узлов проф. В. В. Попова при условии, что все ходы имеют одинаковые веса, равные 1. Так, для сети (см. рис. 62)

и s = 9 — 1 = 8. Для сети (рис. 63) матрица

.

Определитель этой матрицы найдем по известному правилу (путем присоединения справа двух первых столбцов)

Таблица 97

Номер дерева

Ветви дерева

Номер дерева

Ветви дерева

I

1, 3, 6

13

3, 5, 4

2

1, 7, 6

14

7, 5, 4

3

1, 2, 6

15

3, 2, 4

4

1, 2, 5

16

7, 2, 4

5

1, 4, 5

17

6, 4, 5

6

1, 3, 4

18

1, 2, 4

7

1, 4, 7

19

7, 2, 5

8

6, 4, 2

20

3, 2, 5

9

6, 4, 3

21

2, 7, 6

10

6, 5, 2

22

2, 3, 6

11

6, 4, 7

23

1, 5, 7

12

6, 5, 1

24

1, 3, 5

Совокупность всех измерений, отнесенных в первую группу, на языке теории графов называется деревом сети. Число таких деревьев равно s.

  1. Составить деревья в сети (см. рис. 62) и по каждому дереву получить систему условных уравнений.

  2. Перейти к системе условных уравнений в нивелирной сети (см. рис. 64) по одному из следующих деревьев (табл. 97).

Например, вариант 11 приведет к выбору полигонов, показанных на рис. 63.

  1. Доказать, что матрицы коэффициентов условных уравнений и уравнений поправок связаны соотношением ВА = 0. Проверить это свойство в задаче 4.2.

  2. Перейти от уравнений поправок к условному уравнению в задачах 3.36, 3.37. Обращение и перемножение матриц выполнить на ЭВМ «Наири-К» по стандартным программам.

  3. Перейти от параметрического способа к коррелатному в сети триангуляции с измеренными углами (см. рис. 52, задача 3.38), отнеся в первую группу уравнения поправок для углов 2, 3, 7, 8, которых достаточно для однозначного определения координат пунктов Д и С.

  4. Исходя из параметрического способа, составить условные уравнения при многократном измерении одной и той же величины.

Переход от параметрического способа к коррелатному выполняют в том случае, когда условные уравнения имеют сложный вид.

Переход от коррелатного способа к параметрическому делают значительно реже и выполняют следующим образом. Из общего числа п поправок vi выбирают к поправок и пишут выражения

; ;…; .

После этого систему условных уравнений записывают в виде

и выражают вектор

.

Тогда получают систему уравнений поправок

; ,

Где матрицы

  1. Перейти от условного уравнения (см. пример 1) к уравнениям поправок.

Решение. Пусть

, ,

тогда

откуда

Уравнения поправок

, , ,

где

  1. Перейти от условных уравнений в примере 2 к уравнениям поправок.

§39. Коррелатный способ уравнивания. Условные и нормальные уравнения, их решение

Рассмотренные в предыдущем параграфе условные уравнения, как правило, составляют независимо от параметрического способа уравнивания, исходя из геометрических связей, возникающих в сети. В самом деле, каждое избыточное измерение приводит к образованию точной математической зависимости между истинными значениями измеренных величин (условное уравнение связи)

(4.14)

Всего таких уравнений, которые назовем исходными уравнениями связи, будет Например, если Yi — углы треугольника, то

.

Приводя (4.14) к линейному виду путем разложения в ряд Тейлора и приняв в качестве приближенных значений , где

- измеренные значения, получим

(4.15)

Введя обозначения

, , ,

(4.16)

и учитывая, что разности yi Yi = есть истинные ошибки измерений, вместо (4.15) напишем

(4.17)

Система (4.17), состоящая из r уравнений с n неизвестными, имеет множество решений относительно i. Поэтому она не может быть решена однозначно. Из всего множества решений выберем такие неизвестные , которые удовлетворяют условию метода наименьших квадратов

(4.18)

или

(4.18')

соответственно для равноточных и неравноточных измерений. Величины vi назовем поправками. Система

(4.19)

носит название условных уравнений поправок (условных уравнений). Для отыскания относительного минимума функций (4.18) и (4.18') необходимо применить метод Лагранжа, согласно которому составляем функцию

где — неопределенные пока множители Лагранжа. Беря производные от Ф по vi ,и приравнивая их к нулю, а также обозначая для удобства , получаем после деления на —2 выражения

(4.20)

определяющие поправки через так называемые коррелаты kj. Для случая неравноточных измерений аналогично получим

(4.21)

Для определения коррелат kj, подставив выражения (4.20) или (4.21) в (4.19), получим соответственно для случая равноточных и неравноточных измерений систему уравнений

(4.22)

или

(4.23)

где обратные веса.

Выражение (4.22) или (4.23) называют системой нормальных уравнений коррелат.

От аналогичной системы, возникающей в параметрическом способе, она по виду отличается лишь свободными членами, которые теперь не связаны с коэффициентами ai, bi, ..., gi. Величины wj, вычисленные по формуле (4.16) и представляющие собой приближенные значения функций , вычисленных по измеренным значениям уi называют невязками условных уравнений.

В матричной форме условные уравнения (4.19) записываются в виде:

(4.24)

а нормальные уравнения

(4.25)

где матрица

(4.25')

Вектор поправок

(4.26)

что соответствует равенствам (4.21).

В теории коррелатного способа уравнивания доказывается, что

(4.27)

(4.28)

или

(4.29)

где величины

(4.30)

а величины

Алгоритмы с одной буквой , раскрываются точно так же, как и алгоритмы и т. д. в параметрическом способе уравнивания, например:

и т. д. Раскрытие алгоритмов выполняется по формулам

и т. д., подобно тому, как раскрываются аналогичные алгоритмы в параметрическом способе. Если условно обозначить

(4.31)

и

(4.32)

то алгоритмы , будут раскрываться так же, как и алгоритмы , в параметрическом способе сравнивания. Тогда вместо (4.27) и (4.28) условно можно написать

С учетом сказанного схема составления нормальных уравнений и их решения методом Гаусса для равноточных измерений дана в табл. 98, 99, 100.

Таблица 98

Номера измерений

1

2

п

Таблица 99

a]

b]

g]

s’]

контроль

[a

[b

[g

Равенство является заключительным контролем преобразований в схеме Гаусса.

После вычисления поправок vi, которые записываются в последний столбец табл. 98, выполняются контроли, подтверждающие правильность вычисления поправок vi.

; (4.33)

Окончательным контролем решения задачи является выполнение равенств

(4.34)

Таблица 100

Вспомогательные величины

контроль

-1

……

………

-1

1

1…1

где

— уравненные значения измеренных величин. Иными словами, невязки всех условных уравнений, вычисленных по уравненным результатам измерений, должны быть равны нулю.

Часто применяют такие контрольные формулы:

(4.35)

Следует, однако, заметить, что они контролируют лишь правильность вычисления поправок. Однако если в вычислении коэффициентов условных уравнений допущены ошибки, что особенно вероятно, когда исходные функции (4.14) нелинейные, геодезическая сеть окажется неуравненной даже при соблюдении равенств (4.35). Над столбцами w и 2 в табл. 100 делают такие же преобразования, как и под столбцами l и s в параметрическом способе. Коррелаты kj вычисляются

Таблица 101

Номера измерений

Таблица 102

a]

b]

c]

s’]

Контроль

точно так же, как и неизвестные xj, и притом по тем же формулам, если иметь в виду условные обозначения (4.31). Вспомогательные величины kj вычисляются по столбцу 2 точно так же, как и xj. Говоря проще, если в параметрическом способе в схеме Гаусса в столбцы

Таблица 103

Номера измерений

Коэффициенты условных уравнений

vi

-2.1

-2.8

-0.5

2.0

1.7

3.4

-2.8

-2.1

0.4

Таблица 104

a]

b]

c]

d]

l]

s']

Контроль

[a

3

0

0

1

—2,043

1,957

1,957

5,4

7,357

[b

3

0

1

1

5,000

5,000

-7.1

—2,100

[c

3

1

3,057

7,057

7,057

4,5

11,557

[d

3

—0,149

5 851

5,851

3,2

9,051

[l

9,406

11,271

11,271

3,2

14,471

l и s поместить числа из столбцов w и , то вычисления будут выполняться точно так же и по тем же формулам, что и в параметрическом способе.

В случае неравноточных измерений схема сотавления нормальных уравнений состоит из табл. 101 и табл. 102 (здесь для сокращения записей принято r=3).

Решение нормальных уравнений выполняется так же, как и в случае равно точных измерений.

  1. Составить и решить нормальные уравнения коррелат, вычислить поправки углов в задаче 4.5.

Решение. Составление и решение нормальных уравнении выполнено в табл. 103—105.

Поправки vi , вычисленные по формуле (4.20), приведены в последней графе табл. 103. Для удобства их вычисления в последней строке этой таблицы выписаны вычисленные коррелаты.

Как видно, величины поправок vi совпали с их значениями, полученными в задаче 3.38 параметрическим способом, что говорит о правильности выполненных вычислений. По этой причине в этой задаче опущены окончательные контроли вычислений, присущие коррелатному способу уравнивания.