
- •§39. Коррелатный способ уравнивания. Условные и нормальные уравнения, их решение
- •§40. Подсчет допустимости невязок условных уравнений
- •§41. Оценка точности функций в коррелатном способе уравнивания
- •§42. Некоторые виды условных уравнений в геодезических сетях
- •§43. Задачи на уравнивание геодезических измерений коррелатным способом
- •Глава 5. Двухгрупповые и комбинированные способы уравнивания §44. Двухгрупповой способ крюгера
- •§45. Способ крюгера – урмаева
- •§46. Параметрический способ с зависимыми параметрами
- •§47. Способ условий с дополнительными неизвестными
- •§48. Уравнивание коррелированных измерений
- •§49. Уравнивание при большом числе неизвестных
- •§50. Уравнивание с учетом ошибок исходных данных
- •Список литературы
- •Проиложение I
- •Проиложение II
- •Проиложение III
- •Проиложение IV
- •Проиложение V
- •Проиложение VI
- •Проиложение VII
- •Проиложение VIII
- •Проиложение IX
- •Проиложение X
- •Проиложение XI
- •Оглавление
С этим обозначением систему перепишем в виде
BV +W = 0. (4.10)
Если матрицу В представить так:
(4.11)
то (4.10) в подробной записи будет иметь вид (4.2).
Пример 1. Перейти от параметрического способа к коррелатному при уравнивании трех углов, измеренных в треугольнике (рис. 61). В качестве необходимых неизвестных выберем углы 1 и 2. Тогда уравнения поправок будут
;
;
Приняв
в качестве приближенных значений
,
где
—
измеренные значения углов, будем иметь
свободные члены
,
и
где
— так называемая невязка. Поэтому
;
;
В этой системе матрицы
;
;
Поэтому согласно формулам (4.9) и (4.7) находим В = (—1 —1 —1),
w = L2 = —W и, наконец, получаем условное уравнение
или
(4.12)
Пример 2. Перейти от параметрического способа уравнивания к коррелатному в нивелирной сети (рис. 62). Здесь уравнения поправок имеют вид:
Перепишем эту систему в виде
(4.13)
Как и в предыдущей задаче, матрица
матрица
.
Поэтому матрица
.
Вектор
.
Так как свободные члены
то
,
.
Поскольку вектор V согласно расстановке уравнений в (4.13)
то получим условные уравнения
Легко видеть, что эти условные уравнения можно написать сразу, выбрав в сети три полигона и придав им направления, как показано на рис. 62.
Ясно, что можно получить и иное решение задачи, если в первую группу отнести иные уравнения поправок, например для v1 и v3,, v1
и
v5
и
др. В зависимости от этого будем получать
и иные условные уравнения.
Число s
таких
систем условных уравнений совпадает с
определителем
матрицы
[6],
т. е. s = det
,
где
—
матрица коэффициентов нормальных
уравнений, составляемых по способу
узлов проф. В. В. Попова при условии, что
все ходы имеют одинаковые веса, равные
1. Так, для сети (см. рис. 62)
и s = 9 — 1 = 8. Для сети (рис. 63) матрица
.
Определитель этой матрицы найдем по известному правилу (путем присоединения справа двух первых столбцов)
Таблица 97
Номер дерева |
Ветви дерева |
Номер дерева |
Ветви дерева |
I |
1, 3, 6 |
13 |
3, 5, 4 |
2 |
1, 7, 6 |
14 |
7, 5, 4 |
3 |
1, 2, 6 |
15 |
3, 2, 4 |
4 |
1, 2, 5 |
16 |
7, 2, 4 |
5 |
1, 4, 5 |
17 |
6, 4, 5 |
6 |
1, 3, 4 |
18 |
1, 2, 4 |
7 |
1, 4, 7 |
19 |
7, 2, 5 |
8 |
6, 4, 2 |
20 |
3, 2, 5 |
9 |
6, 4, 3 |
21 |
2, 7, 6 |
10 |
6, 5, 2 |
22 |
2, 3, 6 |
11 |
6, 4, 7 |
23 |
1, 5, 7 |
12 |
6, 5, 1 |
24 |
1, 3, 5 |
Совокупность всех измерений, отнесенных в первую группу, на языке теории графов называется деревом сети. Число таких деревьев равно s.
Составить деревья в сети (см. рис. 62) и по каждому дереву получить систему условных уравнений.
Перейти к системе условных уравнений в нивелирной сети (см. рис. 64) по одному из следующих деревьев (табл. 97).
Например, вариант 11 приведет к выбору полигонов, показанных на рис. 63.
Доказать, что матрицы коэффициентов условных уравнений и уравнений поправок связаны соотношением ВА = 0. Проверить это свойство в задаче 4.2.
Перейти от уравнений поправок к условному уравнению в задачах 3.36, 3.37. Обращение и перемножение матриц выполнить на ЭВМ «Наири-К» по стандартным программам.
Перейти от параметрического способа к коррелатному в сети триангуляции с измеренными углами (см. рис. 52, задача 3.38), отнеся в первую группу уравнения поправок для углов 2, 3, 7, 8, которых достаточно для однозначного определения координат пунктов Д и С.
Исходя из параметрического способа, составить условные уравнения при многократном измерении одной и той же величины.
Переход от параметрического способа к коррелатному выполняют в том случае, когда условные уравнения имеют сложный вид.
Переход от коррелатного способа к параметрическому делают значительно реже и выполняют следующим образом. Из общего числа п поправок vi выбирают к поправок и пишут выражения
;
;…;
.
После этого систему условных уравнений записывают в виде
и выражают вектор
.
Тогда получают систему уравнений поправок
;
,
Где матрицы
Перейти от условного уравнения (см. пример 1) к уравнениям поправок.
Решение. Пусть
,
,
тогда
откуда
Уравнения поправок
,
,
,
где
Перейти от условных уравнений в примере 2 к уравнениям поправок.
§39. Коррелатный способ уравнивания. Условные и нормальные уравнения, их решение
Рассмотренные в предыдущем параграфе условные уравнения, как правило, составляют независимо от параметрического способа уравнивания, исходя из геометрических связей, возникающих в сети. В самом деле, каждое избыточное измерение приводит к образованию точной математической зависимости между истинными значениями измеренных величин (условное уравнение связи)
(4.14)
Всего
таких уравнений, которые назовем
исходными уравнениями связи,
будет
Например, если Yi
—
углы треугольника, то
.
Приводя
(4.14) к линейному виду путем разложения
в ряд Тейлора и приняв в качестве
приближенных значений
,
где
-
измеренные значения, получим
(4.15)
Введя обозначения
,
, ,
(4.16)
и
учитывая, что разности yi
—
Yi
=
есть истинные ошибки измерений, вместо
(4.15) напишем
(4.17)
Система
(4.17), состоящая из r
уравнений
с n неизвестными, имеет множество
решений относительно i.
Поэтому
она не может быть решена
однозначно. Из всего множества решений
выберем такие неизвестные
,
которые
удовлетворяют условию метода наименьших
квадратов
(4.18)
или
(4.18')
соответственно для равноточных и неравноточных измерений. Величины vi назовем поправками. Система
(4.19)
носит название условных уравнений поправок (условных уравнений). Для отыскания относительного минимума функций (4.18) и (4.18') необходимо применить метод Лагранжа, согласно которому составляем функцию
где
—
неопределенные пока множители Лагранжа.
Беря производные
от Ф по vi
,и
приравнивая их к нулю, а также обозначая
для удобства
,
получаем
после деления на —2 выражения
(4.20)
определяющие поправки через так называемые коррелаты kj. Для случая неравноточных измерений аналогично получим
(4.21)
Для определения коррелат kj, подставив выражения (4.20) или (4.21) в (4.19), получим соответственно для случая равноточных и неравноточных измерений систему уравнений
(4.22)
или
(4.23)
где
обратные веса.
Выражение (4.22) или (4.23) называют системой нормальных уравнений коррелат.
От
аналогичной системы, возникающей в
параметрическом способе,
она по виду отличается лишь свободными
членами, которые теперь не
связаны с коэффициентами ai,
bi,
..., gi.
Величины
wj,
вычисленные
по формуле (4.16) и представляющие собой
приближенные значения
функций
,
вычисленных
по измеренным значениям уi
называют
невязками условных уравнений.
В матричной форме условные уравнения (4.19) записываются в виде:
(4.24)
а нормальные уравнения
(4.25)
где матрица
(4.25')
Вектор поправок
(4.26)
что соответствует равенствам (4.21).
В теории коррелатного способа уравнивания доказывается, что
(4.27)
(4.28)
или
(4.29)
где величины
(4.30)
а
величины
Алгоритмы
с одной буквой
,
раскрываются
точно так
же, как и алгоритмы
и
т. д. в параметрическом способе уравнивания,
например:
и
т. д. Раскрытие алгоритмов
выполняется
по формулам
и т. д., подобно тому, как раскрываются аналогичные алгоритмы в параметрическом способе. Если условно обозначить
(4.31)
и
(4.32)
то
алгоритмы
,
будут раскрываться так же, как и алгоритмы
,
в параметрическом способе сравнивания.
Тогда вместо (4.27) и (4.28) условно можно
написать
С учетом сказанного схема составления нормальных уравнений и их решения методом Гаусса для равноточных измерений дана в табл. 98, 99, 100.
Таблица 98
Номера измерений |
|
|
|
|
1 2 … п |
|
…
|
…
|
…
|
|
|
|
|
|
Таблица 99
|
a] |
b] |
… |
g] |
s’] |
контроль |
|
|
[a [b … [g |
|
|
… … |
…
|
…
|
|
…
|
…
|
Равенство
является
заключительным контролем преобразований
в схеме Гаусса.
После вычисления поправок vi, которые записываются в последний столбец табл. 98, выполняются контроли, подтверждающие правильность вычисления поправок vi.
;
(4.33)
Окончательным контролем решения задачи является выполнение равенств
(4.34)
Таблица 100
Вспомогательные величины |
|
|
|
|
контроль |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…… |
……… |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
||||
1 |
1…1 |
где
— уравненные значения измеренных величин. Иными словами, невязки всех условных уравнений, вычисленных по уравненным результатам измерений, должны быть равны нулю.
Часто применяют такие контрольные формулы:
(4.35)
Следует, однако, заметить, что они контролируют лишь правильность вычисления поправок. Однако если в вычислении коэффициентов условных уравнений допущены ошибки, что особенно вероятно, когда исходные функции (4.14) нелинейные, геодезическая сеть окажется неуравненной даже при соблюдении равенств (4.35). Над столбцами w и 2 в табл. 100 делают такие же преобразования, как и под столбцами l и s в параметрическом способе. Коррелаты kj вычисляются
Таблица 101
Номера измерений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 102
|
a] |
b] |
c] |
s’] |
Контроль |
|
|
|
|
|
|
|
|
точно так же, как и неизвестные xj, и притом по тем же формулам, если иметь в виду условные обозначения (4.31). Вспомогательные величины kj вычисляются по столбцу 2 точно так же, как и xj. Говоря проще, если в параметрическом способе в схеме Гаусса в столбцы
Таблица 103
Номера измерений |
Коэффициенты условных уравнений |
|
vi |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
-2.1 -2.8 -0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
2.0 1.7 3.4 |
|
|
|
|
|
|
|
-2.8 -2.1 0.4 |
Таблица 104
|
a] |
b] |
c] |
d] |
l] |
s'] |
Контроль |
|
|
[a |
3 |
0 |
0 |
1 |
—2,043 |
1,957 |
1,957 |
5,4 |
7,357 |
[b |
|
3 |
0 |
1 |
1 |
5,000 |
5,000 |
-7.1 |
—2,100 |
[c |
|
|
3 |
1 |
3,057 |
7,057 |
7,057 |
4,5 |
11,557 |
[d |
|
|
|
3 |
—0,149 |
5 851 |
5,851 |
3,2 |
9,051 |
[l |
|
|
|
|
9,406 |
11,271 |
11,271 |
3,2 |
14,471 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l и s поместить числа из столбцов w и , то вычисления будут выполняться точно так же и по тем же формулам, что и в параметрическом способе.
В случае неравноточных измерений схема сотавления нормальных уравнений состоит из табл. 101 и табл. 102 (здесь для сокращения записей принято r=3).
Решение нормальных уравнений выполняется так же, как и в случае равно точных измерений.
Составить и решить нормальные уравнения коррелат, вычислить поправки углов в задаче 4.5.
Решение. Составление и решение нормальных уравнении выполнено в табл. 103—105.
Поправки vi , вычисленные по формуле (4.20), приведены в последней графе табл. 103. Для удобства их вычисления в последней строке этой таблицы выписаны вычисленные коррелаты.
Как видно, величины поправок vi совпали с их значениями, полученными в задаче 3.38 параметрическим способом, что говорит о правильности выполненных вычислений. По этой причине в этой задаче опущены окончательные контроли вычислений, присущие коррелатному способу уравнивания.