3. Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними через 2с, а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2а. По определению 2а < 2с, т. е. а < с.

Для вывода уравнения гиперболы выберем си­стему координат Оху так, чтобы фокусы F₁ и F₂ лежали на оси Ох, а начало координат совпало с серединой отрезка F₁F₂ (см. рис. 6). Тогда фокусы будут иметь координаты F₁(-c;0) и F₂(c;0). Пусть М(х; у) — произвольная точка гиперболы. Тогда согласно опре­делению гиперболы |MF₁ - MF₂| = 2а или MF₁ - MF₂ = ±2а, т.е.

После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравне­ние гиперболы , где b² = c² – a² .

Гипербола есть линия второго порядка.

Рис. 6.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

1. Уравнение содержит х и у только в четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки О(0; 0), которую называют центром гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у = 0 в уравнении , находим две точки пересечения гиперболы с осью Ox: .A₁(a;0) и А₂(-а;0). Положив х = 0, получаем у² = -b², чего быть не может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.

Точки A₁(a;0) и А₂(-а;0) называются вершинами гиперболы, а отрезок А₁А₂ = 2а — действительной осью, отрезок ОА₁ = ОА₂ = а - действительной полуосью гиперболы.

Отрезок В₁В₂ (В₁В₂ = 2b), соединяющий точки B₁(0; b) и В₂(0; -b) называется мнимой осью, число b — мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

3. Из уравнения следует, что уменьшаемое не меньше единицы, т. е. что ≥ 1 или |х| ≥ а. Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой х = а (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой х = -а (левая ветвь гиперболы).

Рис. 7.

4. Из уравнения (11.9) гиперболы видно, что когда |х| возрастает, то и |у| воз­растает. Это следует из того, что разность сохраняет постоянное значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 7 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Асимптоты гиперболы

Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки М кривой К до этой прямой стремится к ну­лю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой К от начала координат.

Покажем, что гипербола имеет две асимптоты: .

Так как прямые и гипербола симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти.

Возьмем на прямой точку N имеющей ту же абсциссу х, что и точка М(х; у) на гиперболе (см. рис. 8), и найдем разность MN между ордина­тами прямой и ветви гиперболы:

Рис. 8.

К ак видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; чи­слитель — есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка MN стремится к нулю. Так как MN боль­ше расстояния d от точки М до пря­мой, то d и подавно стремится к ну­лю. Итак, прямые являются асимптотами гиперболы .

Рис. 9.

При построении гиперболы целесообразно сначала построить ос­новной прямоугольник гиперболы (см. рис. 9), провести прямые, проходя­щие через противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины А₁ и A₂ гиперболы.

Уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой служат оси координат

Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны (а = b). Ее каноническое уравнение х²-у²=а².

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравне­ния у = х и у = - х и, следовательно, являются бис­сектрисами координатных углов.

Рис. 10.

Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой си­стеме координат Ох'у' (см. рис. 10), полученной из старой поворотом осей координат на угол . Ис­пользуем формулы поворота осей координат:

х = х' cos α — у' sin α,

у = х' sin α + у' cos α.

Подставляем значения х и у в уравнение:

где .

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет иметь вид .

Дополнительные сведения о гиперболе

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас­стояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обо­значается ε: .

Так как для гиперболы с > а, то эксцентриситет гиперболы больше единицы: ε > 1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно, из равенства b² = c² – a² следует, что , т. е.

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем мень­ше отношение - ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно,

Фокальные радиусы для то­чек правой ветви гиперболы имеют вид r₁ = εх + а и r₂ = εх - а, а для левой – r₁ = - (εx + а) и r₂ = - (εх - а).

Прямые называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы ε > 1, то < а. Это значит, что правая директриса расположе­на между центром и правой вершиной гиперболы, левая — между центром и левой вершиной.

Директрисы гиперболы имеют то же свойство = ε, что и директрисы эллипса.

Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а — на оси Ох. На рисунке 11 она изображена пунктиром.

Очевидно, что гиперболы = 1 и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Рис. 11.