3. Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая.

Проекцией точки М на ось l называется основание M₁ перпендикуляра ММ₁, опущенного из точки на ось.

Точка M₁ есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М.

Рис. 7

Пусть — произвольный вектор ( ≠ ). Обозначим через А₁ и В₁ проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора и рассмотрим вектор .

Рис. 8.

• Проекцией вектора на ось l называется положительное число | |, если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число - | |, если вектор и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки А₁ и В₁ совпадают ( = 0), то проекция вектора равна 0.

Проекция вектора на ось l обозначается так: пр_l . Если = или , то пр_l = 0.

Угол φ между вектором и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно, 0 ≤ φ ≤ π.

Рис. 9.

Рассмотрим основные свойства проекций.

С 1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла φ между вектором и осью, т. е. пр_l = | | • cos φ.

• Если φ < π/2, то пр_l = +| | = | |·cos φ.

• Если φ > π/2 (φ ≤ π), то пр_l = -| | = -| |·cos(π-φ) = | | · cos φ (см. рис. 10).

• Если φ = π/2, то пр_l = 0 = |a|cos φ.

Рис. 10.

Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

С 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пусть, например, = + + . Имеем пр_l = +| | = +| | + | | - | |, т. е. пр_l ( + + ) = пр_l + пр_l + пр_l (см. рис. 11).

Рис. 11.

С 3. При умножении вектора на число λ его проекция на ось также умножается на это число, т. е. пр_l (λ· ) = λ· пр_l

При λ > 0 имеем пр_l (λ· ) = |λ |·сos φ = λ·| |·cos φ = λ· пр_l· .

При λ < 0: пр_l (λ· ) = |λ |·сos (π-φ) = -λ·| |·(-cos φ) = λ· ·cos φ = λ· пр_l .

Свойство справедливо, очевидно, и при λ = 0.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно (см. рис. 12).

Рис. 12.

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через M₁, М₂ и М₃. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда пр_х = | |, пр_у = | |, пр_z = | |. По определению суммы нескольких векторов находим .

А так как , то

Но ·= | |· , ·= | |· , ·= | |·

Обозначим проекции вектора = на оси Ох, Оу и Oz соответственно через а_х, а_у и а_z, т.е. | | = а_х, | | = а_у, = | | = а_z. Тогда из равенств и получаем:

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х, а_у, a_z называются координатами вектора , т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство часто записывают в символическом виде: = (а_х; а_у; a_z)._

Равенство = (b_х; b_у; b_z) означает, что .

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать , т. е.

Отсюда:

,

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны α, β, γ- По свойству проекции вектора на ось, имеем:

а_х = | |·cos α, а_y = | |·cos β, а_z = | |·cos γ

Или то же самое, cos α = а_х / | |·, cos β = а_y / | |·, cos γ = а_z / | |·

Числа cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами вектора . Подставим выражения в равенство, получаем:

| |² = | |² · cos² α + | |² · cos² β + | |² · cos² γ.

Сократив на | |² ≠ 0, получим соотношение:

cos² α + cos² β + cos² γ = 1,

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа cos α, cos β, cos γ, т. е. = (cos α; cos β; cos γ)

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т. е. сам вектор.