5.3. Графічний спосіб обчислення площ

Цей спосіб полягає в розмічуванні заданої фігури на плані на прості геометричні, найчастіше всього трикутники, прямокутники і трапеції. Криволінійні контури розмічуються при цьому на такі частини, які можна прийняти за фігури, обмежені прямими. Виміривши за допомогою масштабу величини, необхідні для визначення площі, наприклад, основу і висоту трикутника або паралельні сторони і висоту трапеції, визначають площі геометричних фігур і беруть їх суму.

Площі, обчислені на основі даних, отриманих із вимірювань у натурі, визначаються значно точніше, ніж за допомогою даних, взятих із плану. Площа вузької смуги (дороги, канави тощо) обчислюється достатньо точно, якщо навіть її довжина буде взята графічно з плану, але ширина виміряна на місцевості.

За планом або топографічною картою площа визначається тим грубіше, чим дрібніше масштаб плану. Наприклад, при масштабі 1 : 100 000 площа трикутника в 20 га може містити похибку приблизно 1 га, при масштабі 1 : 10 000 – біля 0,1 га. Тому для визначення площ план повинен бути складений у достатньо великому масштабі. На точність визначення площ впливає також конфігурація ділянки. Площа витягнутої зі звивистими межами ділянки визначається грубіше, ніж площа ділянки такого ж розміру, але короткою межею.

Для визначення площ невеликих ділянок із криволінійними контурами на плані використовують прямолінійні і криволінійні палетки.

До прямолінійних належать відомі й найбільш розповсюджені квадратні й паралельні палетки.

Квадратна палетка являє собою сітку взаємно перпендикулярних ліній, проведених через 1-2 мм на прозорій основі. Інколи палетка являє собою сітку прямокутників.

Щоб визначити площу квадратною палеткою, спочатку підраховують кількість повних сантиметрових квадратів, обмежених потовщеними лініями, потім повних малих квадратів. Далі шляхом складання розташованих на межі ділянки часток неповних малих квадратів (із визначенням на око кожної частки від повного малого квадрата). Цією палеткою можна визначити площу з помилкою до 2%.

Для визначення площі паралельною палеткою її вигідно розташувати так, щоб крайні точки контуру знаходились посередині між двома лініями палетки. Тоді лінії палетки всюди будуть середніми лініями трапеції (основа трапецій збігається з переривчатими лініями), сума площ яких і складає площу ділянки. Ця площа дорівнює сумі довжин усіх середніх ліній, помноженій на відстань h між лініями.

S = h(ab + cd +...+ mn).

Довжини середніх ліній вимірюють циркулем із допомогою поперечного масштабу, виражаючи їх в одиницях вимірювань на місцевості відповідно до масштабу плану (карти). Точність визначення площі паралельною палеткою становить десяті частки відсотка.

Криволінійні палетки складають у вигляді системи гіпербол (гіперболічні палетки) для визначення площ простих геометричних фігур, але ці палетки непридатні для визначення площ, обмежених довільними кривими лініями.

5.4. Планіметри

Планіметром називають механічний прилад, який дає можливість шляхом обводу плоскої фігури якої-небудь форми визначити її площу. Вони бувають найрізноманітних систем: від дуже складних до простих. Планіметри поділяються на лінійні і полярні.

До лінійних відносять планіметри, в яких всі точки приладу під час обводу фігури рухомі, наприклад, планіметр-сокірка (рис. 13) з обвідним шпилем b і лезом k. Перед обводом фігури встановлюють обвідний шпиль приблизно в центрі ваги фігури і натискуванням на лезо сокирки відмічають на папері точку k. Після цього ведуть обвідний шпиль до контуру, обводять контур, повертають шпиль у вихідну точку b і другим натиском на лезо відмічають точку k^'. Площа контуру

Р = kb · kk^',

де kb – довжина сокирки, а kk^' – відстань, виміряна по плану. Планіметр-сокірка дає можливість визначити площу з відносною похибкою 1 : 50.

Найбільш розповсюджені полярні планіметри (рис. 14), які складаються з двох важелів (обвідного R і полюсного R_о), з’єднаних шарніром у точці а.

Рис. 13. Лінійний планіметр

Рис. 14. Полярний планіметр

Обвід фігури здійснюється обвідним індексом b, розташованим на кінці обвідного важеля. Обвідний індекс являє собою кінець шпиля (рис. 14). Під час обводу одна точка планіметра О, розташована на кінці полюсного важеля, нерухома і називається полюсом. Полюс кріпиться до паперу, на якому зображена обвідна фігура, за допомогою голки або вантажу. Результат обводу (вимірювання площі) фігури визначається обертанням лічильного ролика k, який при обводі фігури торкається поверхні паперу. Для врахування результатів обводів на циліндричній поверхні лічильного ролика нанесені поділки (рис. 15). Поділкою планіметра називають 1 : 1000 кола обвідка лічильного ролика, який торкається паперу.

Відлік планіметра складається з чотирьох цифр: перша цифра – тисячі – відраховуються на циферблаті, друга цифра – сотні – відраховується на барабані, третя – десятки, четверта – одиниці – беруться по верньєру.

Щоб визначити площу ділянки, ставлять обвідну голку планіметра в будь-яку точку межі ділянки, розташовуючи обвідний і полюсний важелі приблизно під прямим кутом, і роблять відлік п₁ на лічильному механізмі. Далі ручкою тримача обертають обвідний важіль так, щоб опорний штифт линув по паперу, а вістря обвідної голки рухалося по межі ділянки, не торкаючись поверхні паперу, при цьому основа опорного штифта повинна розташовуватися на 0,5 мм нижче від вістря голки. Обводячи голку по всій межі ділянки і повертаючись у вихідну точку, здійснюють другий відлік п₂. Далі обчислюють площу за формулою

S = C(n₂ – n₁),

де С – ціна однієї поділки планіметра, або площа, яка відповідає одній поділці планіметра.

Для визначення ціни поділки планіметра ретельно обводять кілька разів фігуру з визначеною площею (найбільш зручно дециметровий квадрат координатної сітки плану). У цьому випадку:

де (п₂ – п₁)_сер. – середнє значення різниці відліків у кінці і на початку кожного обведення.

Різниця п₂ – п₁ відповідає обводу за напрямком руху годинникової стрілки. У випадку обводу в оберненому напрямку різниця дорівнюватиме п₁ – п₂.

Для контролю і підвищення точності визначення площі обводи однієї і тієї ж ділянки повторюють, дотримуючись при цьому такого порядку: обводять голкою спочатку за напрямком руху годинникової стрілки, потім – проти руху. З двох отриманих різниць відліків беруть середнє, якщо розходження між ними не більше трьох поділок, в іншому разі обводи повторюють. Ця операція має назву одного півприйому. Другий півприйом складається також із двох обводів ділянки, що виконуються після зміни положення лічильного механізму відносно лінії, яка з’єднує обвідну голку і полюс (полюс при цьому залишається у своєму початковому положенні); якщо в першому півприйомі лічильний механізм знаходився ліворуч від лінії, то в другому він повинен знаходитися праворуч.

Середнє з різниць, отриманих із двох півприйомів, має назву одного повного прийому.

Особливо ретельно треба визначати ціну поділки планіметра – не менше ніж одним повним прийомом. Перед визначенням ціни поділки записують довжину обвідного важеля, визначаючи її по верньєру. За нульовий штрих верньєра на обвідному важелі приймають його перший штрих від обвідної голки. Дуже важливо знати й пам’ятати, що зі зміною довжини обвідного важеля змінюється й ціна поділки планіметра, й обводити ділянку можна тільки з тією ж довжиною важеля, яка була при визначенні ціни поділки.

На кожній земельній ділянці окремо визначають площу угідь. Після цього складають експлікацію (склад угідь).

Контрольні запитання та завдання

1. Яка мета попередньої обробки польових вимірів?

2. Наведіть основні формули для обчислення дирекційних кутів.

3. Що таке кутова нев’язка теодолітного ходу?

4. Поясніть порядок урівноваження кутів повороту.

5. Як здійснюється обчислення врівноважених дирекційних кутів?

6. Поясніть порядок обчислення приростків координат.

7. Як визначається лінійна нев’язка ходу?

8. Обґрунтуйте порядок урівноваження приростків і обчислення координат точок ходу.

9. Поясніть порядок обчислення висот точок ходу.

10. Як здійснюється побудова плану полігону (ходу) за виміряними кутами й горизонтальними прокладеннями?

11. Поясніть порядок побудови прямокутної координатної сітки.

12. Обґрунтуйте порядок розрахунків для симетричного розміщення плану на планшеті.

13. Як здійснюється нанесення ситуації на план?

14. Поясніть порядок оформлення плану.

15. Охарактеризуйте способи обчислення площ.

16. Як обчислити площу земельної ділянки за координатами її вершин?

17. У чому полягає графічний спосіб обчислення площ?

18. Поясніть будову планіметра.

19. Як визначити ціну поділки планіметра?

20. Охарактеризуйте порядок визначення площі планіметром.

Розділ 2

Геометричне нівелювання