4 Временные ряды в эконометрических исследованиях

Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели. Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между пе­ременными осуществляется во времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.

Временной ряд - ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.

Каждый временной ряд складывается из следую­щих основных компонентов:

1) Тенденции, характеризующей общее направление динамики изучаемого явления. Аналитически тенденция выражается некоторой функцией времени, называемой трендом .

2) Циклической или периодической компоненты, ха­рактеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Например: значения макроэкономиче­ских показателей зависят от того, в какой фазе бизнес-цикла находится экономика. Объем продаж некоторых товаров подвержен сезонным колебаниям .

3) Случайной компоненты, которая является результа­том воздействия множества случайных факторов .

Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих компонент: .

В зависимости от взаимосвязи между этими компо­нентами может быть построена либо аддитивная модель: , либо мультипликативная модель: ряда динамики.

Пусть нам даны поквартальные данные об объеме вы­пуска некоторого товара некоторой фирмой - Y (усл.ед.) за 3 года:

Таблица 4 – Исходные данные об объеме вы­пуска товара фирмой

График данного временного ряда (рисунок 3) свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период колебаний равен 4) и общей возрастающей тенденции уровней ряда. Объем выпускаемой продукции в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. Поскольку амплитуда сезонных колебаний примерно постоянна, можно предположить существование аддитивной модели.

Автокорреляция - корреляционная связь между после­довательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L - лаг).

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если , то имеем коэффициент ав­токорреляции 1-ого порядка , если , то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значе­ний, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции рав­ный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг , при котором автокорреляция наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда. Если наиболее высоким оказывается значение , то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался , то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом k. Если ни один из коэффициентов автокорреляции k не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

- либо ряд не содержит тенденции и циклических ко­лебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

- либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функци­ей временного ряда. График зависимости значений коэффи­циентов автокорреляции от величины лага (порядка коэф­фициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокор­реляции.

Определим коэффициент автокорреляции 1-го порядка, используя формулу линейного коэффициента корреляции.

,

где

; ,

,

,

Промежуточные расчеты по определению коэффициента автокорреляции первого порядка приведены в таблице 5.

Таблица 5- Вспомогательные расчеты по определению коэффициента автокорреляции первого порядка.

Таким образом, ,

Далее определим коэффициент автокорреляции второго порядка по формуле:

,

где

; ,

,

,

Промежуточные расчеты по определению коэффициента автокорреляции второго порядка приведены в таблице 6.

Таблица 6 - Вспомогательные расчеты по определению коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таким образом, .

Аналогично вычисляются коэффициенты автокорреляции третьего, четвертого и т.д. порядка. Результаты расчетов и коррелограмма представлены в таблице 7.

Таблица 7 – Автокорреляционная функция и коррелограмма временного ряда объема вы­пуска товара фирмой

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания.

Построение аддитивной модели временного ряда с сезонными колебаниями.

Обратимся к данным об объеме выпуска товара некоторой фирмой за последние три года, представленным в таблице 4.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1. просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (графа 3 таблицы 8);

2. разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (графа 4 таблицы 8). Отметим, что полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты;

3. приведем эти значения в соответствие с фактическими момен­тами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (графа 5 таблицы 8).

Таблица 8 - Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (графа 6 таблицы 8). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 9). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 9 - Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели.

Для данной модели имеем:

Определим корректирующий коэффициент:

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:

где ,

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: ;

II квартал: ;

III квартал: ;

IV квартал: .

Занесем полученные значения в таблицу 10 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (графа 4 таблицы 10). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 10 - Расчет выровненных значений T и ошибок E в аддитивной модели.

Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда с помощью линейного тренда (расчеты выполнены с помощью Ms Excel). Результаты аналитического выравнивания следующие:

,

.

Подставляя в это уравнение значения t = 1, ..., 16, найдем уровни Τ для каждого момента времени (графа 5 таблицы 10). График уравнения тренда приведен на рисунке 4.

Рисунок 4 - Объем выпуска товаров фирмой (фактические, выровненные и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда)

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по адди­тивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезон­ной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения представлены на рисунке 4.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле:

Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в графе 7 таблицы 10.

Для оценки качества построенной модели или для выбора наилучшей модели используется ошибка ε.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет общей вариации временного ряда.

Построение мультипликативной модели временного ряда.

Имеются поквартальные данные об объеме выпуска товара фирмой за последние три года, представленные в таблице 4.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда мето­дом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в таблице 11.

Таблица 11 - Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели.

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользя­щие средние (графа 6 таблицы 10). Используем эти оценки для расче­та значений сезонной компоненты S (таблица 12). Для этого най­дем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликатив­ной модели выражается в том, что сумма значений сезонной ком­поненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла (год) равно 4 (четыре квартала).

Таблица 12 - Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели.

Имеем:

.

Определим корректирующий коэффициент: .

Определим скорректированные значения сезонной компо­ненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффи­циент k.

где ,

Проверим условие равенства 4 суммы значений сезонной компоненты:

.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: ;

II квартал:

III квартал: ;

IV квартал: .

Занесем полученные значения в таблицу 13 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответ­ствующие значения сезонной компоненты. Тем самым мы полу­чим величины (графа 4 таблицы 13), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 13 - Расчет выровненных значений Τ и ошибок Ε в мультипликативной модели.

Шаг 4. Определим компоненту T в мультипликативной моде­ли. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, исполь­зуя уровни . Уравнение тренда имеет следующий вид:

,

.

Подставляя в это уравнение значения t = 1, ..., 16, найдем уровни T для каждого момента времени (графа 5 таблицы 13). График уравнения тренда приведен на рисунке 5.

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни T на значения сезонной компоненты для соот­ветствующих кварталов. Графически значения представле­ны на рисунке 5.

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели произво­дится по формуле:

,

Численные значения ошибки приведены в графе 7 таблицы 13.

Для сравнения мультипликативной модели с другими моделями временного ряда можно использовать величину абсолютной ошибки:

,

Следовательно, ошибка ε мультипликативной модели составит:

.

Таким образом, доля объясненной дисперсии уровней ряда в мультипликативной модели составит .

Прогнозирование

Для прогнозирования из двух рассмотренных моделей необходимо выбрать ту, у которой ошибка ε наименьшая. Следовательно, при прогнозировании будет использоваться аддитивная модель, так как .

Таким образом, прогнозное значение уровня временного ряда в аддитив­ной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент.

Объем товаров, выпущенного фирмой в течение первого по­лугодия ближайшего следующего, т. е. четвертого года, рассчитывается как сумма объемов выпущенных товаров в I и во II кварталах четвертого года, соответственно и . Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

.

Получим:

;

.

Значения сезонной компоненты равны: (I квартал); (II квартал). Таким образом,

;

.

Прогноз объема выпуска товаров фирмой на первое полу­годие 2006 года составит:

усл.ед.

Следует отметить, что для осуществления прогноза по мультипликативной модели, прогнозные значения F определяются как:

.