5. Передаточные функции системы
Необходимо составить передаточные функции:
-
разомкнутой системы по управляющему
воздействию
;
-
разомкнутой системы по возмущающему
воздействию
;
-
замкнутой системы по управляющему
воздействию
;
-
замкнутой системы по возмущающему
воздействию
;
-
замкнутой системы по ошибке от управляющего
воздействия
;
-
замкнутой системы по ошибке от возмущающего
воздействия
.
При выводе передаточной функции разомкнутой системы следует начинать преобразования (укрупнение) с самого внутреннего контура - контура напряжения (тока).
Передаточные функции записать в двух вариантах:
в общем виде, например
,
д.б. а0=1,
b0=1
где 
;
;
………… .
;
;
………… ;
2) с числовыми значениями.
При выводе передаточной функции разомкнутой системы для самоконтроля следует иметь в виду: а) единицей измерения добротности системы по скорости должен быть миллиметр, делённый на секунду, так как регулируемая координата - линейное перемещение; б) так как система имеет астатизм первого порядка, то в знаменателе обязательно должен быть нулевой корень р; при возрастании степени полинома оператора р коэффициенты при нем должны уменьшаться (на порядок и более).
6. Синтез корректирующих звеньев
6.1. Общие положения
Синтез систем по заданным показателям качества в конечном итоге состоит в определении вида и параметров корректирующих устройств (последовательных, параллельных, в цепях обратных связей), при введении которых в исходную систему обеспечиваются заданные по ТЗ динамические характеристики.
При выполнении настоящей работы могут быть использованы любые методы синтеза, среди которых наибольшее распространение получили:
- метод ЛАЧХ [1];
- метод обратных ЛАЧХ [4];
- метод типовых (стандартных) уравнений [1, 3].
Характерной особенностью САУ для рассматриваемых видов технологического оборудования является выполнение ее в виде системы подчиненного регулирования [3] с автономными вложенными друг в друга контурами напряжения (тока), скорости, положения. Это позволяет синтезировать ее по контурам, начиная с внутреннего контура регулирования напряжения (тока), который представляется в виде системы с единичной обратной связью. Далее он представляется в виде эквивалентного звена и вкладывается в контур регулирования скорости с единичной обратной связью. Аналогичным образом регулирования скорости в виде эквивалентного звена вкладывается в контур регулирования положения.
Наибольшее распространение получил метод синтеза по ЛАЧХ, поэтому ниже даются основные положения по этому методу применительно к последовательным корректирующим звеньям.
Исходные динамические показатели при синтезе контуров приведены в табл. 7.
Таблица 7
Динамические показатели САУ
Тип контура |
Добротность |
Время переходного процесса |
Перерегулирование |
РН(Т) |
40-60 |
|
|
РС |
30-50 |
|
|
РП |
|
|
по заданию |
%
по
заданию
6.2. Методика синтеза системы по ЛЧХ
Синтез
САУ состоит в следующем [1, 2]. Имеется
исходная система с передаточной функцией
.
В нее необходимо ввести корректирующее
звено с передаточной функцией
,
в результате чего система обеспечивает
требуемые показатели качества;
соответствующая ее ПФ называется
желаемой -
.
При введении последовательного
корректирующего звена в исходную систему
имеем
,
откуда
.
Переходим к ЛАЧХ
.
По ЛАЧХ корректирующего звена определяется его передаточная функция.
Синтез предусматривает следующие процедуры и последовательность их выполнения:
а) определение передаточной функции исходной системы и построение соответствующей ЛАЧХ;
б) построение ЛАЧХ, при которой система обеспечивает требуемые показатели качества (желаемая ЛАЧХ);
в) определение ЛАЧХ корректирующего звена, как правило последовательного, или эквивалентного ему при любом способе введения (параллельные, в цепях обратной связи) и составление передаточной функции;
г) выбор схемы корректирующего звена и определение номинальных значений элементов.
Рассмотрим основные положения этих процедур.
1) Построение ЛАЧХ исходной системы (контура). Выполняется по ее ПФ. При этом числитель и знаменатель ПФ системы должны быть представлены в виде простых сомножителей. Для разложения полиномов на простые сомножители могут быть использованы известные процедуры и основанные на них программные продукты.
2) Построение желаемой ЛАЧХ. При построении желаемой ЛАЧХ выделяют три характерные области: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.
Для каждой из областей установлены свои правила построения.
Низкочастотная область определяет точность системы. Порядок ее построения следующий:
а) определяется добротность системы (если не задано)
,
где
- порядок
производной входного воздействия;
-
составляющая ошибки, соответствующая
входному воздействию.
Для
статических и астатических систем 1-го
порядка соответственно добротность по
положению K
и добротность по
скорости
определяются:
;
;
б)
на оси частоты
откладывается точка
;
в)
через точку
проводится прямая под наклоном -
,
где i
- степень астатизма системы.
Среднечастотная
область определяет
качество переходного процесса. Искомым
параметром является частота среза
и
протяженность этого
участка (сопрягающие частоты). Порядок
ее построения:
а
)
частота среза
определяется по
характеристикам, приведенным на рис. 6
[1, 2]. Здесь аргумент – максимальное
значение вещественной частотной
характеристики (ВЧХ) замкнутой системы
,
обеспечивающей требуемые показатели
качества; функции - перерегулирование
и время переходного процесса
.
По заданной величине перерегулирования
определяется
требуемое значение
ВЧХ, а затем для него
определяется требуемое значение
в виде
,
где r имеет конкретное числовое значение (правая ордината рис. 6). Затем определяется частота среза
.
Если
величина перерегулирования не задана,
то принимают
;
б)
на частоте среза
проводится прямая
под наклоном -20 дБ/дек до значений
=
11дБ.
При этом получают сопрягающие частоты
и
.
Сопряжение
среднечастотной области с низкочастотной
выполняют в зависимости от расположения
низкочастотной асимптоты ЛВЧХ на
сопрягающей частоте
.
Если она выше значения 11дБ, то на частоте
проводят прямую под наклоном -40 дБ/дек
до пересечения с низкочастотной частью
ЛАЧХ; если ниже, то под наклоном 0 дБ.
Высокочастотная
область
определяет помехозащищенность системы.
Среднечастотный участок ЛАЧХ с наклоном
-20 дБ/дек проводится до граничной частоты,
которая определяется из условия
.
Далее наклоны желаемой ЛАЧХ берутся равными наклонам ЛАЧХ исходной системы.
3)
Определение ЛАЧХ корректирующего звена
.
Как следует из приведенных выше
соотношений для получения ЛАЧХ
корректирующего
звена необходимо из желаемой ЛАЧХ
вычесть
ЛАЧХ исходной системы
.
По
полученной ЛАЧХ корректирующего звена
записывается передаточная функция
корректирующего звена в дробно-рациональной
форме. При этом руководствуются тем,
что участки под наклоном
-20 дБ/дек дают простой сомножитель
вида
в
знаменателе, а участки под наклоном +20
дБ/дек дают простой сомножитель вида
в числителе; участки под наклоном -40
дБ/дек дают сомножитель второго порядка
вида
в знаменателе, а участки под наклоном
+40 дБ/дек дают сомножитель второго
порядка вида
в числителе.
4) Выбор схемы корректирующего звена и определение номинальных значений элементов. В соответствии с передаточной функцией корректирующего звена выбирают схему электрическую принципиальную корректирующего звена ( приведены в [1, 2]). Если корректирующее звено имеет по два и более простых сомножителей в числителе и знаменателе, то вводят соответствующее число последовательных корректирующих цепочек.
Например, получена передаточная функция корректирующего звена в виде
.
Разбиваем его на два последовательных из условия
.
Откуда соответственно получаем
;
.
Если
коэффициент передачи корректирующего
звена
меньше
единицы, то коэффициент передачи прямого
тракта увеличивается введением
дополнительного усилителя с коэффициентом
усиления
.
При определении значений элементов схемы выходное сопротивление принимаем равным (5–10) кОм, что соответствует входным сопротивлениям применяемых в схемах приводов усилителей постоянного тока. Далее по значениям постоянных времени звена определяются значения остальных элементов. Полученные значения могут не соответствовать номинальным значениям резисторов и конденсаторов. Окончательно берутся ближайшие номинальные значения, установленные ГОСТом.
6.3. Синтез корректирующих звеньев контура напряжения (тока)
Приводится
структурная схема контура. Главная
обратная связь показывается единичной.
Исходные данные берутся из табл. 7.
Выполняется синтез корректирующего
устройства. Приводятся необходимые
графики ЛАЧХ и ФЧХ (синтезированного)
контура. Определяется запас по фазе
(
).
Дается схема электрическая принципиальная
корректирующих звеньев, рассчитываются
значения входящих в схему элементов.
Пример синтеза.
Структурная схема исходного контура приведена на рис. 7.
Рис. 7. Структурная схема контура напряжения
Все построения (ЛАЧХ и ФЧХ) приведены на рис. 8.
Построение ЛАЧХ исходного контура. Передаточная функция исходного контура ранее определена и имеет вид
.
Вначале полагаем, что передаточная функция корректирующего звена равна единице
.
Требуемая
добротность контура определена заданием
(табл. 7.) и составляет 40. Строим ЛАЧХ
исходного контура при добротности К=40
(
).
Так как добротность исходного контура ниже требуемой, то коэффициент его передачи увеличивается за счет введения дополнительного усилителя с коэффициентом усиления
.
24
Рис. 8. ЛЧХ контура напряжения
Построение
желаемой ЛАЧХ.
Контур должен иметь добротность К=40
с-1
и показатели переходного процесса:
;
.
На
оси частоты при
откладывается точка
.
Через точку проводится прямая под наклоном –20 дБ/дек.
Определяем частоту среза. Так как перерегулирование не задано, то
принимаем
.
На
частоте среза
проводится прямая
под наклоном -20 дБ/дек до значений
=
11
дБ. При этом сопрягающие частоты будут
,
.
Из
точки ЛАЧХ на частоте
проводится прямая под наклоном
0 дБ/дек до пересечения с низкочастотной
частью ЛАЧХ. При этом определяется
первая сопрягающая частота
.
На
частоте ωЖ3
ЛАЧХ принимает наклон -40 дБ/дек и
проводится до граничной частоты, которая
определяется из условия
,
принимаем
.
Далее наклоны желаемой ЛАХ берутся
равными наклонам исходной системы.
Соответствующая построенной желаемой ЛАЧХ передаточная функция контура будет
.
где,
1/
=0,1,
1/
=0,0043,
1/
=0,00028,
1/
=0,000056
Определение передаточной функции корректирующего звена. ЛАЧХ корректирующего звена определяется как
.
В результате по полученной ЛАЧХ записываем передаточную функцию корректирующего звена
.
Так как полученная передаточная функция не реализуется одним звеном, то разбиваем его на три
.
По
результирующей ЛАЧХ корректирующего
звена строится ЛАЧХ составляющих
корректирующих звеньев
.
Коэффициенты передачи всех корректирующих
звеньев равны единице и прямолинейный
участок низкочастотной области каждой
из них должен располагаться на
горизонтальной оси, т.е. при 0 дБ. Для
удобства представления (так как ЛАЧХ
будут налагаться друг на друга) ЛАЧХ
корректирующих звеньев разнесены по
оси децибел. Однако при этом обозначены
значения низкочастотных участков как
0 дБ. По полученным ЛАЧХ корректирующих
звеньев записываются соответствующие
им передаточные функции
;
;
.
Выбор схемы корректирующих звеньев и определение значений входящих в нее элементов. Рассмотрим этот вопрос, например, для первого корректирующего звена с передаточной функцией
.
Звено интегродифференцирующее, постоянная времени числителя больше постоянной времени знаменателя. Выбираем схему электрическую принципиальную корректирующего звена (КЗ), описываемой такой передаточной функцией [2]. Схема КЗ приведена на рис. 9.
В
курсовой работе необходимо вывести
передаточную функцию этого звена. В
результате вывода получаем
.
Элементы схемы и параметры передаточной функции звена определяются следующими соотношениями
;
;
.
Ч
Рис.
9. Схема электрическая принципиальная
корректирующего звена
,
,
.
Задаемся
значением входного сопротивления
цепочки
10 кОм,
которое выбирается в диапазоне 5–10 кОм,
что соответствует входным и выходным
сопротивлениям нагрузки, применяемым
в электроприводах усилителей и
преобразователей.
Определяем числовое значение емкости конденсатора C1, мкФ
.
Определяем
значение сопротивления
:
,
откуда
.
В результате расчетов значения элементов корректирующей цепочки будут:
,
,
.
Полученные значения подпадают под номинальные значения ряда сопротивлений и конденсаторов, установленных ГОСТ 23456-72.
В случае, если полученные значения сопротивлений и конденсаторов не соответствуют установленным ГОСТом значениям, то берется ближайшее значение и определяются фактические значения постоянных времени звена. Приводится относительное процентное отклонение постоянных времени и коэффициента передачи от расчетных.
Определяем коэффициент передачи корректирующего звена
.
Так
как фактический коэффициент передачи
полученного звена
не совпадает с требуемым значением
,
то коэффициент передачи прямого тракта
контура умножается на соответствующее
значение
,
определяемое из условия
,
откуда
.
Для компенсации ослабления сигнала, вносимого пассивным корректирующим звеном, вводится дополнительный усилитель или поднимается на соответствующую величину коэффициент передачи одного из звеньев прямого тракта.
6.4. Синтез корректирующих звеньев контура скорости
Приводится структурная схема контура. Главная обратная связь показывается единичной. Исходные данные берутся из табл. 5. Выполняется синтез корректирующего устройства. Приводятся необходимые графики ЛАЧХ. Определяется запас по фазе. Дается схема электрическая принципиальная корректирующих звеньев.
6.5. Синтез корректирующих звеньев контура положения (системы)
Приводится структурная схема контура. Исходные данные берутся из табл. 5. Выполняется синтез корректирующего устройства. Приводятся необходимые графики ЛАЧХ. Определяется запас по фазе. Дается схема электрическая принципиальная корректирующих звеньев.
6.6. Автоматизированный синтез САУ
Настоящие методические указания предусматривают освоение инженерного синтеза САУ классическими методами. Для автоматизированного синтеза САУ можно воспользоваться литературой [6, 7].