32. Определение функции выпуклой вверх (вниз) на некотором интервале. Определение точки перегиба функции.

Функция выпукла вниз(вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда её первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает)

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если f`(x) возрастает (убывает) на промежутке Х, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику. Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна 0

Достаточное условие перегиба. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба её графика.

Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

33. Определение предела функции в точке. Односторонние пределы.

Число А называется пределом, если для любого интервальчика с центром в точке А найдётся интервальчик с центром в точке х₀, что для всех х принадлежащих этому интервальчику, значение функции принадлежит интервалу с центром в точке А.

Односторонний предел - предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).

34. Свойства пределов функции. Первый замечательный предел.

1. Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

2. Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

3. Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

4. Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

5. Предел произведения

Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

6. Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

7. Предел степенной функции

где степень p - действительное число.

8. Предел показательной функции

где основание b > 0.

9. Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

10. Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что $ g(x)\leqs f(x)\leqs h(x)$ для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если

то То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу A.

Первый замечательный предел:

35. Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных функций.

Функция y=f(x) называется непрерывной, в точке x₀, если выполняются 3 условия:

1. Она определена в некоторой окрестности в точке х₀

2. Существует lim f(x)=A при х->х₀

3. f(x₀)=A

Если ни одно из этих условий не выполняется, функция называется разрывной в точке х₀

Функция называется непрерывной на открытом интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

lim (delta y)=0 при (delta x ->0) – основное свойство непрерывности функции.

Если функция непрерывна в точке х₀, то малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

Функция называется непрерывной на замкнутом интервале, если

1. 1)Она непрерывна на открытом интервале

2. 2)Непрерывна слева в точке В и непрерывна справа в точке А

Функция непрерывна слева в точке х₀, если:

1. определена в некоторой левой полу окрестности

2. существует lim f(x)=A при x->x₀-0

3. A=f(x₀)

Аналог даётся непрерывности справа.