8. Теорема Крамера

Пусть дана система n-линейных уравнений с n-неизвестными. Если определитель матрицы коэффициентов отличен от 0, то система имеет единственное решение. Это решение задаётся формулами :

- определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой первого столбца столбцом свободных членов.

Если же определитель равен 0, то система или неопределенна, или несовместна.

9. Понятие ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров при нахождении ранга матрицы.

Ранг матрицы – наивысший порядок миноров, отличных от нуля.

Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице А найден минор порядка k, который отличен от нуля, точка r(A) k. Тогда переходим к вычислению миноров порядка k+1. Оказывается при этом достаточно перебирать только такие миноры k+1 порядка, которые в своём составе содержат минор k-того порядка, который отличен от нуля.

Минором порядка k данной матрицы называется число, равное определителю матрицы, составленной из элементов матрицы А, стоящих на пересечении каких-то k-строк и k-столбцов.

10. Теорема Кронекера Капелли

Пусть дана система m-уравнений с n-неизвестными. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов, равен рангу расширенной матрицы. Причём, система имеет единственное решение (система определена), если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений (система неопределенна), если ранг меньше числа неизвестных.

11. Векторы. Линейные операции над векторами.

Вектор – направленный отрезок.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Суммой (a + b) векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.

Разностью (а – b) векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Произведением вектора a на число k называется вектор, который:

коллинеарен вектору a;

сонаправлен ему, если k > 0, или противоположнонаправлен, если k < 0;

длины связаны следующим соотношением: |k a| = |k|*| a|

Скалярное произведение на множество геометрических векторов вводится, как

(ab) = |a||b|cos(a ^b).

12. Линейная комбинация системы векторов

Линейной комбинацией системы векторов называется вектор, получаемый из векторов этой системы путём умножения их на коэффициенты λ1, λ2,…, λn и сложения

13. Линейная зависимость и независимость системы векторов

Систему векторов а ,а … а называется:

ЛИНЕЙНОНЕ ЗАВИСИМОЙ, если ни 1 из векторов этой системы не является линейной комбинацией остальных векторов этой системы

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМОЙ, если хотя бы 1 из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Любая система более чем из n-векторов в n-мерном пространстве является линейно независимой.

14. Понятие базиса линейного пространства

Система векторов образует базис n-мерного пространства, если :

• Система линейно независима

• Если любой другой вектор n-мерного пространства является линейной комбинацией векторов это системы

Базис векторного пространства – набор из максимального (для данного пространства) числа линейно независимых векторов.

15. Как определить образует ли система векторов базис

Любой базис n-мерного пространства состоит из n-векторов. Если определитель отличен от 0, то система образует базис, если определитель равен 0, то система базис не образует.

16. Скалярное произведение векторов, его основные свойства и координатное выражение.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов, умноженное на cos угла между ними

(ab) = |a||b|cos(a ^ b)

Свойства скалярных произведений:

• Свойство коммутативности скалярного произведения (ab) = (ba)

• Свойство дистрибутивности (a+bc) = (ac)+(bc) или (ab+c) = (ab)+(ac)

• Сочетательное свойство (альфа*ab) = альфа(ab), где альфа – произвольное действительное число

• Скалярный квадрат вектора всегда неотрицателен (aa) 0, причём (аа)=0, тогда и только тогда, когда вектор а нулевой