П. Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале , если он расположен, ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

ТЕОРЕМА: (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ВЫПУКЛОСТИ, ВОГНУТОСТИ ГРАФИКА ФУНКЦИИ). Если функция во всех точках интервала имеет , то график функции является выпуклым, если для , то график является вогнутым.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Точки, в которых вторая производная не существует или рана нулю, называются критическими точками 2 рода.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

ТЕОРЕМА: Если вторая производная при переходе через критическую точку 2 рода , в которой она равна нулю (или не существует), меняет знак, то точка - есть точка перегиба.

ПРИМЕР: Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба функцию

РЕШЕНИЕ: Найдем и , , только при на интервале

при и при , следовательно, график функции в интервале выпуклый, а - вогнутый.

В точке и точка - точка перегиба.

П. Асимптоты графика функции

Построение графика функции облегчается, если знать его асимптоты.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Асимптотой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или

Действительно, в этом случае из рисунка видно, что расстояние от точки кривой до прямой равно . Если , то . Согласно определению асимптоты - является асимптотой функции .

Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения , вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва 2 рода.

_{ПРИМЕР:} Функция имеет вертикальную асимптоту , т.к. является точкой разрыва 2 рода: и

Уравнение наклонной асимптоты ищется в виде

,

Где

(1)

(2)

Если хотя бы один из пределов не существует или равен , то кривая наклонных асимптот не имеет.

В частности: если , то , поэтому уравнение горизонтальной асимптоты.

ЗАМЕЧАНИЕ: Асимптоты при и при могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (1) и (2) следует отдельно рассматривать случай, когда и .

ПРИМЕР: Найти асимптоты

1) при наклонной асимптоты не существует

2)

следовательно, при график функции имеет одну горизонтальную асимптоту

Общая схема исследования функции и построения графика

1. Найти область определения функции

2. Найти если это возможно точки пересечения графика с осями координат

3. Определить участки непрерывности, указать точки разрыва, если они есть и характер разрыва.

4. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки на которых , ).

5. Выяснить является ли функция четной, нечетной или общего вида.

6. Найти асимптоты графика функции

7. Найти интервалы монотонности функции

8. Найти экстремумы функции

9. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

Схема не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить 3 пункта 1, 2, 7.

23