Найти производную функции , где
1)
значению
даем приращение
2)
находим соответствующее приращении
функции
3)
значит
4)
следовательно
,
т.е.
2.
Найти
производную функции
1) значению даем приращение
2) находим соответствующее приращении функции
3)
составляем отношение
4)
находим предел этого отношения
Таким
образом
Механический смысл производной
В задаче про скорость было получено
,
Это
равенство можно переписать в виде
,
т. е скорость движения материальной
точки в момент
есть производная от пути
по времени
.
В этом и заключается механический смысл производной.
Производную
всегда можно трактовать как некую
скорость, если слово скорость относить
не только к механическому движению, а
вообще к изменению. Так как
изменяется в зависимости от
,
можно
поставить вопрос о скорости изменения
переменной
по сравнению с переменной
.
Физический смысл производной.
Если
функция описывает какой-нибудь процесс
физический, то производная есть скорость
протекания этого процесса. Например,
если
количество вещества, участвующего в
данной химической реакции к моменту
времени
,
то
- скорость изменения количества вещества.
В этом состоит физический смысл производной.
Геометрический смысл производной.
В задаче про касательную к кривой находится угловой коэффициент касательной
Это
равенство перепишем в виде
,
т.е. производная
в точке
равна угловому коэффициенту касательной
к графику функции
в точке, абсцисса которой равна
.
В этом заключается геометрический смысл производной.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
ТЕОРЕМА: Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть
функция
-
дифференцируема в некоторой точке
,
следовательно существует
,
отсюда по теореме о связи функции, ее
предела и бесконечно малой функции
(если функция имеет предел, равный
,
то ее можно представить в виде суммы
числа
и бесконечно малой функции
,
т.е. если
,
то
)
Имеем
,
где
,
при
,
т.е.
,
переходя к пределу, при
,
получаем
А это и означает, что функция непрерывна в точке .
Обратная теорема вообще говоря не верна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция
Изобразить самим функцию:
Функция
в точке
непрерывна, но не дифференцируема в
ней. Действительно в точке
имеем
,
Т.е.
если мы рассмотрим предел отношения
,
то получаем, что этого предела не
существует, т.к. предел справа не равен
пределу слева, т.е. функция
в точке
не имеет касательной.
НО:!
Замечание:
1) Поскольку существуют односторонние
пределы функции
в точке
,
и
,
в таких случаях говорят, что функция
имеет односторонние производные (или
производные справа и слева) и обозначают
и
.
Если
,
то производная в точке не существует.
Не существует производная и в точке
разрыва.
2)
Производная
непрерывной функции
сама не обязательно является непрерывной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Если функция
имеет непрерывную производную
в некотором интервале
,
то функция называется гладкой.