Лекции по электродинамике / 16. Поляризация диэлектриков

Поляризация диэлектриков

Задача сводится к вычислению диэлектрической проницаемости на основе микроскопической модели вещества. И в конечном итоге сводится к вычислению дипольного момента в единице объема , где -дипольный момент отдельной молекулы. Для этого нужно задать микроскопическую модель вещества, которая для простоты будем предполагать находится в газообразном состоянии. Механизм поляризации будет различен для диэлектриков, у которых в отсутствии поля нет дипольного момента (в них под действием внешнего поля индуцируется дипольный момент) и диэлектрики, у которых изначально имеется магнитный момент. Рассмотрим диэлектрики для первого случая. Дипольный момент каждой отдельной молекулы равняется , - есть смещение электрона под действием внешнего поля. Оценим величину этого смещения.

Она определяется конкуренцией силы, разрывающей молекулы и силой, которая удерживает электрон вблизи молекулы. При малых полях имеет место закон Гука, где сила пропорциональна растяжению молекул (смещению электронов) . По закону Гука смещение электрона пропорционально внешней силе (напряжённости поля). , где -поляризуемость молекул, характерная для данного вещества. Тогда из , Поскольку растяжение диполей происходит в одном направлении вдоль поля, то дипольный момент в единице объёма , где -число молекул (диполей) в единице объёма, то вектор поляризации будет равный и . Обозначая получаем: , где -диэлектрическая проницаемость. Как мы видим она зависит для веществ с индуцированными диполями только от свойства вещества и концентрации (плотности).

Рассмотрим теперь поляризацию диэлектриков, молекулы которого, изначально имеют магнитны момент . В электрическом поле потенциальная энергия диполя во внешнем поле равна: .

Естественно диполи занимают такое расположение, при котором потенциальная энергия будет минимальна, то есть угол равняется нулю. Но это не происходит из-за столкновения молекул находящихся в тепловом движении. Пусть поле направленно вдоль оси z

В этом случае вектор поляризации будет складываться как геометрическая сумма дипольных моментов, то есть . Поделим и умножим на N. Получим:

, где величина , есть среднее значение для молекул в единице объёма. Получаем, что .

Как вычислить среднее значение для некоторой величины .

, где - число измерений при которых попалось значение .

, где - есть вероятность i-го события.

- среднее значение любой физической величины.

dwt – вероятность того, что физическая величина лежит в интервале от до . Аналогично: . Известна формула Больцмана для распределения молекул в поле тяготения: , где U=mgh.

Вероятность того, что частица будет наблюдаться в элементе объёма dV равна

константу можно найти положив , то

- элемент объема в сферической системе координат.

Соберём теперь всё вместе:

Введём обозначение

В реальных полях

Легко видеть, что

Тогда

- функция Ланджевена.

Если разложить в ряд

Значит,

, где

, где N – концентрация, Т, и Р вещества. зависит от Т, N(p)

Второй член в этом выражении обусловлен индукционной поляризацией вещества, присутствующей во всех веществах.