Лекции по электродинамике / 05. Уравнение Пуассона и еего решение

Уравнение Пуассона и его решение.

Воспользуемся теоремой Грина:

произвольные скалярные функции. Они имеют производные и не обращаются в в любой точке. Положим, что и . Теперь подставим в формулу Грина, получим: .

Пусть заряды распределены в замкнутой поверхности S . Поскольку функции не должны обращаться в бесконечность не в какой точке. а потенциал, в частности точечного заряда , то мы исключим точки в которых обращается в 0. Выберем эту точку бесконечно малой замкнутой поверхностью. И объём, по которому будет вестись интегрирование, будет заключаться между внешней и внутренней поверхностью (рисун)

Здесь дана некоторая точка, где r = 0. Мы должны исключить интегрирование по внешней поверхности и исключить данную точку. Мы сделаем это следующим образом – мы эту точку окружим, а затем радиус устремим к нулю и выкинем выбранную точку. Поэтому, интеграл по замкнутой поверхности распадается на внешний и внутренний.

, (внешнюю поверхность устремляем в бесконечность). Заметим, что здесь такие зависимости: , а следовательно, этот интеграл стремится к нулю, то есть он пропадает, когда мы охватываем всё пространство. Теперь рассмотрим интеграл по внутренней поверхности. =(по теореме о среднем)=, при r , интеграл . Значит,

=

(по теореме о среднем) =. При r видно, в данной точке, что . Мы получаем: это потенциал поля системы зарядов в единице объёма. Это решение уравнение Пуассона.

Рассмотрим потенциал поля заряда на большом расстоянии. Здесь

dV ,

r

R Теперь вынесем R из под корня и подставим в уравнение. , - дипольный момент зависит только от распределения заряда в этом объёме.

На больших расстояниях поле определяется только дипольным моментом

Для простоты рассмотрим набор дискретных зарядов: . Здесь , а

Тогда запишем следующий интеграл: . Вынесем за скобки сумму зарядов и сделаем преобразования:

Мы получили радиус вектор положительных зарядов.

- дипольный момент, и направлен он от минуса к плюсу.

Дипольный момент определяет поле нейтральной системы зарядов на больших расстояниях. РОЛЬ дипольного момента: поле нейтральной системы зарядов определяется её дипольным моментом!

Найдём напряжённость диполя:

- поле диполя.