Лекции по электродинамике / 09. Раздел - Электромагнитные волны
..docРаздел – Электромагнитные волны.
-
Решение полной системы уравнений Максвелла.
Запишем полную систему уравнений Максвелла:
(1)
(2)
(3)
(4)
Решим её. Введём
потенциал. Помним, что
.
– задаётся с точностью до grad
некоторой скалярной функции, т.е.
.
В выражение
подставим
.
.
Из уравнении (4)
следует что
.
Подставим его в уравнение (3)
,
следовательно
, а это имеет место,
когда
,
так как rotgradχ=0
Следует:
Тогда выражение для полей через потенциалы принимает вид
Но так как потенциал
задаётся не однозначно с точность до
градиента:
с одной стороны
эта неоднозначность не должна сказываться
на напряжённости поля
,
то также неоднозначно должен задаваться
скалярный потенциал
.
Потребуем, что
.
Это следует из
того, что
А если мы проведём преобразования такого рода:
и
-
система (III),
то выражения для
и
не изменятся. Эти преобразования носят
название калибровки (лежат в теории
всех полей). Проведём калибровку:
.
Всегда можно выбрать так, что
.
А также потребуем,
чтобы:
(7), тогда
.
Схематично мы написали уравнения Максвелла. Теперь можно перейти к потенциалам. Это можно сделать из системы
1.
и 2.
.
Причём
и
удовлетворяют преобразованиям калибровки.
Подставляя
систему (II)
в (I)
и требуя выполнение (7), справедливость
которого следует из преобразования
калибровки (III),
мы получаем:
и по аналогии
найдём другое уравнение -
.
Затем (II)
подставляем в (I(1))
и учитывая
(из
калибровки), получаем систему (IV):
и
.
Таким образом, мы заменили систему (I) на эквивалентные системы (II) и (IV). Это тоже уравнения Максвелла, но в другом виде.
В общем виде запишем сразу решение.
а) Положим, что
(т.е случай стационарный), тогда
,
его решение, тогда,
имеет вид:
.
б)
(вакуум),
.
Здесь
.
,
где
.
Потенциал в точке наблюдения определяется
расстоянием до этой точки и моментом
не t,
а
,
причём
.
Здесь
- это время движения
сигнала.
Из уравнений Максвелла следует:
-
Существование электромагнитных волн;
-
; -
Распространение заряда (не сразу там окажется, а через время).