Лекции по электродинамике / 06. Электрическое поле в диэлектриках

Электрическое поле в диэлектриках

Считается, что если сила взаимодействия между двумя зарядами в вакууме: , то в среде сила взаимодействия будет в раз меньше:

. - диэлектрическая проницаемость, берётся из опыта. У разных веществ диэлектрическая проницаемость различная. Это чисто феноменологический подход, где константа определяется прямо из опыта.

В дальнейшем мы с вами будем рассматривать микроскопическую теорию, поскольку этот подход общий, удобный, практичный, но не всегда работает.

А микроскопическая теория позволяет на основе знания микроструктуры вещества и тех процессов, которые происходят в веществе, предсказать значение . Сейчас мы в это вдаваться не будем, но, по большому счёту, зависит и от температуры (для некоторых диэлектриков), и зависит от частоты, и ещё от целого ряда обстоятельств. Скажем сразу, что хоть и называется диэлектрической проницаемостью вакуума, но никакого отношения не имеет к диэлектрической проницаемости, оно необходимо для соблюдения размерности. Если переходить в Гауссовскую систему, как это сделано у И.Е. Тамма, то вообще не существует.

Тогда система уравнений для электрических полей в диэлектрики примет вид:

Если у нас однородный диэлектрик, то =const.

Введём - вектор электрической индукции:

.

Подставив данное уравнение в нашу систему, получаем

Рассмотрим поведение на границе раздела двух сред. В каждый из них разложим вектор напряжённости на нормальную и тангенсальную слагающую поверхности.

Воспользуемся уравнениями Максвелла для диэлектрика:

(по теореме Гаусса).

Вблизи раздела двух сред возьмём произвольную замкнутую поверхность с двух сторон так, чтобы граница раздела двух сред попадала в область S.

S

Для простоты поверхность сожмём так, чтобы она плотно прилегала к этой поверхности раздела с одной и другой стороны.

Тогда интеграл распадётся на два интеграла: по поверхности и поверхности :

- поверхностная плотность свободных зарядов. Для простоты предположим, что D вдоль поверхности не меняется. Эти интегралы примут вид:

Пусть n нормаль к поверхности границы раздела.

В этом случае - так как нормали совпадают по направлению.

- так как нормали противоположны по направлению.

Если нет поверхностных зарядов, то есть, если , то

Нормальное слагаемое испытывает скачок, то есть .

Если, например, , а , например, вода и воздух, стекло и воздух, то , то есть нормальное слагаемое вектора напряжённости при переходе из вакуума в среду c будет уменьшаться в раз.

А для тангенциальной слагающей воспользуемся витрорым уравнением для стационарным Эл. поля

Тогда из следует

,

,

S- поверхность ограниченная

контуром

Если ввести dt вдоль поверхности, то для тангенсальных составляющих вектора E, получаем

; Откуда следует, что тангенсальная составляющая скачка не испытывает.

Силовая линия на границе двух сред испытывают преломление.

Энергия системы зарядов.

Мы знаем, что в электрическом поле объёмная плотность энергии равна:

Преобразуем это выражение

Преобразуем это выражение и подставим в выражение для напряжённости электрического поля:

А так как

Получаем

Возьмём интеграл по всему пространству(охватив всё) получаем:

Поскольку ~, ~~, ~, то на границе поверхности и выражение для энергии поля принимает вид

- это другое выражение для энергии, здесь уже входит заряд, то есть носителем энергии является заряд. Преобразуем правую часть: . Для простоты перейдём от объёмного заряда к точечному. - потенциал создаваемый всеми зарядами кроме в этой точке.

- потенциал создаваемый k-тым зарядом в той точке, где находится i-тый заряд.

- расстояние между зарядами i и k.

- энергия всех зарядов системы.

- для одной пары зарядов.

- учитывает одну и туже величину дважды, отсюда

-энергия взаимодействия двух зарядов.

Если у нас три заряда, энергию можно посчитать, как энергию взаимодействия первого со вторым, первого с третьим и второго с третьим.

r и k не ноль. Обратим внимание на энергию найденную тремя способами: через заряд, через и через . Если рассматривать точечный заряд в отдельности, то собственная его энергия, энергия взаимодействия элементов заряда между собой, то выражение для энергии двух зарядов не содержит собственные энергии самих зарядов, а лишь энергию их взаимодействия между собой. В отличии от формул содержащих выражение для полей и непрерывно распределённых зарядов. Последние уже содержат собственную энергию бесконечна. Выражение не содержит собственной энергии.