Следствия
Число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится без остатка на двучлен
(отсюда,
в частности, следует, что множество
корней многочлена
тождественно
множеству корней соответствующего
уравнения 
).Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.
Необходимые
теоретические выдержки для разложения
многочлена на множители.
Теорема.
Любой
многочлен степени n вида 
представляется
произведением постоянного множителя
при старшей степени 
и n линейных
множителей 
, i=1,
2, …, n,
то есть 
,
причем 
, i=1,
2, …, n являются
корнями многочлена.
Эта теорема
сформулирована для комплексных
корней
, i=1,
2, …, n и
комплексных коэффициентов 
, k=0,
1, 2, …, n.
Она является основой для разложения
любого многочлена на множители.
Если
коэффициенты
, k=0,
1, 2, …, n –
действительные числа, то комплексные
корни многочлена ОБЯЗАТЕЛЬНО будут
встречаться комплексно сопряженными
парами.
К примеру, если
корни 
и 
многочлена
являются
комплексно сопряженными, а остальные
корни действительные, то многочлен
представится в виде 
,
где 
Замечание.
Среди
корней многочлена могут быть
повторяющиеся.
Доказательство
теоремы проводится с использованием основной
теоремы алгебры и следствия
из теоремы Безу.
Основна́я теоре́ма а́лгебры утверждает, что
Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.
Следствие
Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени над полем комплексных чисел имеет в нём ровно корней, с учётом кратности корней.
Доказательство.
У
многочлена 
есть
корень 
,
значит, по теореме
Безу,
он представим в виде 
,
где 
—
другой многочлен. Применим теорему
к
и
будем применять её таким же образом до
тех пор, пока на месте
не
окажется линейный множитель.
Билет №10
Линейное программирование — математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах -мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств
Основной (стандартной) задачей линейного программирования называется задача нахождения минимума линейной целевой функции (линейной формы) вида:
при условиях
Задача линейного программирования будет иметь канонический вид, если в основной задаче вместо первой системы неравенств имеет место система уравнений:
Основную задачу можно свести к канонической путём введения дополнительных переменных.
Задачи линейного программирования наиболее общего вида (задачи со смешанными ограничениями: равенствами и неравенствами, наличием переменных, свободных от ограничений) могут быть приведены к эквивалентным (имеющим то же множество решений) заменами переменных и заменой равенств на пару неравенств.
Легко
заметить, что задачу нахождения максимума
можно заменить задачей нахождения
минимума, взяв коэффициенты 
с
обратным знаком.
Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Метод был разработан американским математиком Джорджем Данцигом (George Dantzig) в 1947 году