Операция умножения матриц

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB = C;

            Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

 

Свойства операции умножения матриц.

 

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называютсяперестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

АЕ = ЕА = А

            Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O;  OA = O,

где О – нулевая матрица.

 

            2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

 

            3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения  А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

 

            4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB) = (A)B = A(B).

 

            5) Если определено произведение АВ , то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

 

            6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

 

Матрица А^-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А^-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А_n) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы  . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.

2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.

3. Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.

4. Записать обратную матрицу А^-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Билет 5

Определитель, составленный из элементов матрицы без их перестановки называют определитель матрицы

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

,  ,

,  ,

,  .

Минор-это определитель матрицы составленный из эл-тов на пересечении строк и столбцов. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij  равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается Аij. Аij = (-1)i+j × Мij.

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. Теорема Лапласа…. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

1.Метод разложения определителя по строке(столбцу). Для реализации данного метода необходимо проделать следующее.

• Выбрать строку или столбец данного определителя. Выберем например 1 строку.

• Взять первый элемент этой строки и записать его в правой части равенства. Это будет первый сомножитель первого слагаемого результата.

• Мысленно вычеркнуть первую строку и первый столбец данной матрицы, поскольку на пересечений первой строки и первого столбца стоит выбранный элемент матрицы. В результате получится матрица на порядок меньшая исходной. Ее определитель нужно записать в результат вычисления в качестве второго сомножителя первого слагаемого разложения определителя.

• Число минус единица надо возвести в степень, которая определяется как сумма номера строки и номера столбца. Это будет третий сомножитель первого члена разложения определителя по первой строке.

• Второй и последующие члены разложения определяются аналогично.

Таким оразом данный метод сводит задачу вычисления определителя к задаче решения определителя более низкого порядка.

2.Метод Гаусса. Для реализации данного метода нужно провести следующие действия:

1. Умножить первую строку исходного определителя на число обратное первому элементу. В результате значение определителя также умножается на данное число. Первый элемент первой строки станет равным единице.

2. Умножить первую строку на число, равное первому элементу второй строки. Первый элемент первой строки станет равным первому элементу второй строки.

3. Вычесть из второй строки первую строку. На первом месте второй строки окажется 0. Вычитание строк не изменяет значение определителя.

4. Вычесть из третьей и всех последующих строк первую строку. Тогда на первом месте первого столбца будет 1 а на остальных местах ноль.

5. Заменить первую строку полученного определителя первой строкой исходного определителя. В результате полученный определитель с нулями в первом столбце начиная со второго элемента станет равным исходному определителю. Этот определитель будет иметь элементы всех строк отличные от элементов исходного определителя, за исключением первой строки.

6. Вычеркнуть первую строку и первый столбец из полученного определителя на этапе 5.

7. К полученному определителю на единицу меньшего порядка применить действия по пунктам 1-5 Метода Гаусса.

8. Повторить пункт 7 ко всем минорам более низкого порядка.

9. В результате выполнения пунктов 1-8 мы получим определитель равный данному, но имеющий диагональную матрицу. Определитель диагональной матрицы равен произведения диагональных элементов.

Билет 6

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь   — количество уравнений, а   — количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными^[1]. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[2].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

.

Здесь   — это матрица системы,   — столбец неизвестных, а   — столбец свободных членов. Если к матрице   приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

При решении систем линейных уравнений онлайн методом Крамера выполняются следующие шаги.

1. Записываем расширенную матрицу.

2. Находим определитель главной (квадратной) матрицы - основной.

3. Для нахождения i-ого корня по правилу Крамера подставляем столбец свободных членов в основную матрицу на i-ое место и находим ее определитель. Находим отношение полученного определителя к основному, это и есть очередное решение, найденное по методу Крамера. Проделываем данную операцию для каждой переменной.

В случае, если основной определитель матрицы равен нулю, то система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечное множество решений. К сожалению метод Крамера не позволяет более точно ответить на этот вопрос. Тут вам поможет метод Гаусса.

Для решения систем линейных уравнений онлайн матричным методом выполняются следующие шаги.

1. Выписывается основная матрица и находится обратная к ней (в случае, если она не вырожденная).

2. Умножается полученная обратная матрица на вектор-столбец решений.

3. Полученный вектор и есть решение матричного уравнения.

Билет №7

Квадратичной формой над множеством   называют однородный полином второй степени с коэффициентами из 

Матричная запись квадратичной формы 

     Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если 

     Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.

     В пространстве   квадратичную форму можно записать в виде   где X - координатный столбец вектора 

     В пространстве   квадаратичную форму можно представить в виде   где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.

Билет №8

Комплексные числа в математике — расширение множества вещественных чисел. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению i² = − 1

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6. существует нейтральный элемент   относительно сложения:  ;

7. существует нейтральный элемент   относительно умножения:  .

Все указанные равенства должны выполняться для произвольных чисел  .