Вычисление обратной матрицы

Пусть A = (a_ij) – квадратная матрица с определителем, не равным нулю. Тогда существует обратная матрица A^–1, которая вычисляется по формуле

.

Последняя формула означает, что в i-й строке и j-м столбце обратной матрицы располагается алгебраическое дополнение элемента, стоящего в j-й строке и в i-м столбце исходной матрицы, деленное на определитель исходной матрицы.

Напомним здесь, что A_pq = (–1)^p+qM_pq, где M_pq называется минором и представляет собой определитель, получающийся из определителя detA вычеркиванием p-й строки и q-го столбца.

Рассмотрим пример:

detA = 20 + 6 – 24 = 2;

.

Еще раз подчеркнем, что обратная матрица существует только для квадратной матрицы с определителем, отличным от нуля!

Правило Крамера решения квадратных систем линейных уравнений.

Пусть мы имеем квадратную систему линейных уравнений:

. (1)

Рассмотрим частный случай, когда и , т.е. – невырожденная матрица.

Теорема 1. (правило Крамера) Система уравнений с неизвестными в случае, когда , имеет решение, причем только одно. Это решение находится по формулам:

, , (3)

где , – определитель матрицы, получаемой из заменой -ого столбца на столбец свободных членов, т.е.

.

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Доказательство. Запишем систему в матричном виде (2):

,

т.к. – квадратная матрица и определена обратная матрица

.

Тогда умножая (2) слева на , имеем:

, т.е.

.

Здесь определяется через алгебраические дополнения к элементам -ого столбца матрицы , умноженными на элементы столбца . Видно, что это можно переписать в виде формул (3).

Покажем, что это решение единственно. Пусть – решение (1), т.е.

Умножим первое уравнение на , второе – на , …, и сложим (здесь ,…, – алгебраические дополнения к элементам -ого столбца матрицы ). Имеем:

Здесь коэффициенты при есть сумма произведений элементов -ого столбца матрицы на алгебраические дополнения к элементам -ого столбца . По теоремам о разложении по «своему» и «чужому» столбцу имеем, что коэффициент при равен , а остальные – нули, т.е.

, т.е. те же формулы.

Т.о., (3) дают единственное решение.

Пример.

. , , , , , , .

Замечание. Если рассматривать однородную СЛУ с и , то формулы Крамера дают единственное нулевое решение.

Следствие. Если однородная система линейных уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение, то .

Условие совместности СЛУ.

Теорема 2. (теорема Кронекерра-Капелли). Для того, чтобы система (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы, т.е.

.

Доказательство. Очевидно, что .

Для доказательства перепишем систему (1) в виде:

(4)

где выделены столбцы матрицы , являющиеся элементами .

Необходимость. Если существует решение , то запись (4) означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы . Значит, добавление этого столбца не изменяет числа линейно независимых столбцов .

Достаточность. Пусть . В этом случае базисный минор матрицы является базисным и для . Это и означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы , в которых расположен базисный минор, а значит, и всех столбцов матрицы (остальные можно взять с коэффициентом 0). Очевидно, что коэффициенты этой линейной комбинации и являются решениями системы (1), т.е. есть хотя бы одно решение.

Построение решений СЛУ.

Теорема Кронекера-Капелли устанавливает совместимость СЛУ, но не дает практического рецепта их нахождения. Ниже дается один из возможных способов.

Пусть рассматривается произвольная система уравнений с неизвестными и пусть .

Def 7. Число , равное рангу матриц и , называется рангом системы (1).

Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (этого всегда можно добиться применением нумерации неизвестных и перестановкой уравнений). Обозначим этот минор :

.

Минор является базисным и для , поэтому строки матрицы с номерами , …, являются линейными комбинациями первых ее строк (теорема о базисном миноре). Это означает, что уравнения с номерами , …, представляют собой линейные комбинации первых уравнений, так что система (1) эквивалентна системе

(5)

(так как все решения (5) обращаются в тождество все последующие уравнения).

Если , то (5) система с определителем неравным нулю и она (и значит система (1)) имеет единственное решение, определяемое по правилу Крамера. Т.о., справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если , то система (1) имеет единственное решение.

Пусть далее . Оставим в левых частях лишь те слагаемые, коэффициенты которых образуют базисный минор , остальные перенесем вправо.

(6)

Def 8. Неизвестные называются базисными, а переменные – свободными.

Свободным переменным можно придать произвольные значения. Тогда базисные неизвестные определяются по формулам Крамера:

,

Здесь – определитель, получающийся из заменой -ого столбца на столбец свободных членов системы (6). Пользуясь свойствами определителя, последнюю формулу можно переписать в виде:

.

Введем обозначения: , .

Тогда имеем

.

Добавляя сюда очевидные равенства: , …, , имеем

(7)

Формулы (7) дают общее решение системы (1), т. к. выражают все неизвестные через свободные неизвестные .

Покажем, что формулы (7) содержат все варианты решения системы (1). В самом деле, если , – решение СЛУ (1), то имеют определенные числовые значения  подставляя их в систему (1) и повторяя все предыдущие выкладки, получим (7).

Таким образом, доказано.

Теорема 4. Если (1) совместна и ее ранг меньше , то эта система имеет бесконечное множество решений.

Пример.

(I)(-4)+(II)+(III)=0  rang=2. Возьмем , – базисные  из (I) и (II) имеем:

.

Классификация систем по наличию решений:

Система	Число решений	Вид системы		Ранги Матриц	Определители (при m=n)
Совместная определенная	Одно	Тре-угольная	а11х1+а12х2+…+а1nxn=b1 a22x2+…+a2nxn=b2 ……………. annxn=bn	RA=RB=n	D0
Совместная неопределенная	Больше одного	Трапе-цеидальная	a11x1+a12x2+…+a1rxr+…+a1nxn=b1 a22x2+…+a2rxr+…+a2nxn=b2 (3) ………………………. arrxr+…+arnxn=br	RA=RB<n	D=0, i (Dxi=0)
Несовместная	Нет решений	Есть противоречивое уравне-ние	a11x1+a12x2+…+a1rxr+…+a1nxn=b1 a22x2+…+a2rxr+…+a2nxn=b2 (3) ………………………. arrxr+…+arnxn=0	RARB	D=0, i (Dxi0)