Вариант 1

1. Построением общей таблицы истинности докажите равносильность формул

2. Переведите предложение на логический язык, постройте и сформулируйте его отрицание. «Если у меня хорошее настроение и есть свободное время, то я иду в кино или гуляю по городу».

3. Докажите и проиллюстрируйте кругами Эйлера

4. Найдите множество , если А=(3;), В=[4;8], C=(-3;6]

5. Найдите пересечение множеств А={3k/2 kZ}, B={5k/2 kZ}

Вариант 2

1. Построением общей таблицы истинности докажите равносильность формул

2. Переведите предложение на логический язык, постройте и сформулируйте его отрицание. «Если ночью пройдет дождь, то я пойду по грибы или поеду на рыбалку».

3. Докажите и проиллюстрируйте кругами Эйлера

4. Найдите множество , если А=(-10;10], В=(-;4, C=[-5;3)

5. Найдите пересечение множеств А={2k/3 kZ}, B={5k/3 kZ}

Вариант 3

1. Построением общей таблицы истинности докажите равносильность формул

2. Переведите предложение на логический язык, постройте и сформулируйте его отрицание. «Если у меня есть свободное время, то я навещаю друзей, и мы идем в кино или на дискотеку».

3. Докажите и проиллюстрируйте кругами Эйлера 

4. Найдите множество , если А=(-7;8), В=(3;, C=[-7;1

5. Найдите пересечение множеств А={3k/5 kZ}, B={2k/5 kZ}

Вариант 4

1. Построением общей таблицы истинности докажите равносильность формул

2. 

3. Переведите предложение на логический язык, постройте и сформулируйте его отрицание. «Если настанет воскресение, или не будет занятий в институте, то ко мне придут друзья, и мы послушаем музыку».

4. Докажите и проиллюстрируйте кругами Эйлера АВАВ

5. Найдите множество , если А=(-;0], В=[-3;8], C=[-7;1)

6. Найдите пересечение множеств А={2k/5 kZ}, B={7k/5 kZ}

Вариант 5

1. Построением общей таблицы истинности докажите равносильность формул

2. Переведите предложение на логический язык, постройте и сформулируйте его отрицание. «Если я договорюсь с друзьями, или они зайдут за мной, то мы пойдем в лес или на лодочную станцию».

3. Докажите и проиллюстрируйте кругами Эйлера (BА)\В=A\B

4. Найдите множество , если А=(-;8], В=[4;, C=[-7;1

5. Найдите пересечение множеств А={3k/8 kZ}, B={7k/8 kZ}

После изучения раздела №3 «Элементы алгебры предикатов» и раздела № 4 «Отношения и функции» проводится коллоквиум №2 и выполняется контрольная работа №2.

Вопросы к коллоквиуму №2

1. Предикаты и операции над ними

2. Операции навешивания кванторов

3. Логические следования

4. Основные равносильности предикатов

5. Применение алгебры предикатов

6. Сюрьективные и инъективные отображения

7. Бинарные отношения и их свойства

8. Отношение эквивалентности и отношение порядка

9. Классы эквивалентности. Фактор-множество

10. Понятие функции

Контрольная работа №2

Образец решения и оформления контрольной работы Вариант 0

1. Докажите, что nN (n³n)3

Решение. База индукции , . Выполняется.

Предположение индукции , будет выполняться .

Шаг индукции , .

Преобразуем полученное выражение так, чтобы использовать предположение индукции. .

Первое слагаемое делится на три по предположению индукции, а второе делится, ибо имеет множитель три. ЗначитnN (n³n)3

2. Найдите декартовы произведения АВ и ВА, декартов квадрат А², диагональ декартова квадрата, если А={1,2,3}, В={1,2}

Решение. Воспользуемся определением .

Диагональ декартова квадрата, представлена множеством

3. Является ли отношение  на множестве А отношением эквивалентности A=Z, y

Решение. Покажем ,что бинарное отношение является отношением эквивалентности.

Проверим свойство рефлексивности: для любого выполнено .

Проверим свойство симметричности: для любых если , то .

Проверим свойство транзитивности: для любых если и , то .

Все три свойства выполняются, а значит,  - отношением эквивалентности.

4. Задает ли отображение следующее «правило сопоставление», если да, то какое?

Х- множество всех трамваев Москвы, У – множество номеров трамвайных маршрутов Москвы. Каждому трамваю ставим в соответствие номер маршрута, по которому он ездит.

Решение. Задано отображение множества Х в множество У. Каждому трамваю ставится в соответствие номер маршрута, причем для трамваев идущих по разным маршрутам, ставятся различные номера, но при этом могут оставаться номера закрытых или отмененных маршрутов. Это инъективное отображение,

продемонстрируем его с помощью графа.

5. Перевести предложение на математический язык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Для любых натуральных чисел х, у, z, если х больше у и у больше z, то х больше z »

Решение. - для любых, , , , тогда

.

Построим отрицание . Прочитаем: «Неверно, что для любых натуральных чисел х, у, z, если х больше у и у больше z, то х больше z ». Упростим, используя закон отрицания кванторов, закон исключения импликации, закон де Моргана, закон двойного отрицания.

, где

Читаем последнюю формулу: «Существуют натуральные числа х, у, z такие, что х больше у и у больше z и х меньше z »