2.2 Математическая модель задачи

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо явления или объекта реального мира на языке математики. Математическое моделирование – это совокупность математических соотношений, описывающих суть задачи. Так как функция линейная, а система содержит только линейные неравенства, то задача является задачей линейного программирования.

Система ограничений в рассматриваемой задаче – это совокупность уравнений и неравенств, описывающих ограниченность рабочего времени за смену.

Обозначим через х1, х2, х3 вид сетевого оборудования. Тогда суммарный объем работы имеет функцию:

Система ограничений имеет вид:

Приведем полученную систему ограничений к канонической форме, для этого добавим к левой части каждого неравенства добавочные неотрицательные переменные х4, х5, х6.

F=15*х1+20*х2+10*х3+0*х4+0*х5+0*х6

F-15х1-20х2-10х3=0

Далее необходимо найти допустимое базисное решение системы, которое максимизирует целевую функцию, соответственно необходимо найти оптимальное решение задачи.

В качестве базисных переменных удобно выбрать х4, х5, х6, тогда в качестве свободных переменных выберем х1, х2, х3. В следующих разделах будет рассмотрено решение данной задачи.

2.3 Расчетная часть задания, выполненная вручную

Для решения данной задачи аналитически, необходимо составить исходную симплекс-таблицу (таблица 3).

Таблица 3 – Исходная симплекс-таблица

БП	СЧ	х1	х2	х3	х4	х5	х6
х4	27	1	1	2	1	0	0
х5	20	2	3	1	0	1	0
х6	16	3	2	2	0	0	1
F	0	-15	-20	-10	0	0	0

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как в индексной строке (в строке F) находится наибольший коэффициент по модулю. Выделяем столбец с выбранным отрицательным показателем.

Для нахождения ключевой строки свободные члены делятся на элементы ключевого столбца, которые должны быть не равны нулю, так как делить на нуль запрещается. Ключевой строкой будет та, где получено наименьшее значение.

1 строка (х4) = 27/1 = 27

2 строка (х5) = 20/3 = 6,7

3 строка (х6) = 16/2 = 8

По результатам деления видно, что ключевой строкой будет выбрана строка соответствующая переменной х5, так как в ней получен наименьший результат от деления. Выделяем данную строку. Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и строки, называется разрешающим элементом или ключевым, в данном примере он равен 3. Далее элементы таблицы преобразовываются и записываются в новую таблицу.

Формирование новой симплекс-таблицы (таблица 4). В начале происходит замена переменной х5 на переменную х2 и заполняется вся строка, путем деления элементов старой ключевой строки на ключевой элемент.

20/3 = 6,7

2/3 = 0,7

3/3 = 1

1/3 = 0,3 т.д.

Остальные элементы таблицы пересчитываются следующим образом: из старого элемента вычитается произведение ключевой строки старой таблицы на элемент ключевой строки новой таблицы. Заполним 1 строку.

27-6,7*1 = 20,3 = 20, где 27 – это элемент старой таблицы, 6,7 – элемент новой таблицы, 1 – элемент ключевого столбца, полученный результат 20 записываем в соответствующую клетку новой таблицы.

1-0,7*1 = 0,3

1-1*1 = 1 т.д.

Заполним 3 и индексную строку по описанному алгоритму.

16-6,7*2 = 2,7

3-0,7*2 = 1,7 т.д.

0-6,7*(-20) = 133,3

(-15)-0,7*(-20) = -1,7 т.д.

Таблица 4 – Симплекс-таблица с полученными результатами

БП	СЧ	х1	х2	х3	х4	х5	х6
х4	20	0,3	0	1,7	1	-0,33	0
х2	6,7	0,7	1	0,3	0	0,3	0
х6	2,7	1,7	0	1,3	0	-0,7	1
F	133,3	-1,7	0	-3,3	0	6,7	0

В индексной строке имеются отрицательные элементы, соответственно оптимальное решение не найдено и необходимо повторить описанный алгоритм действий, пока в индексной строке не будут все элементы положительные.

В данном случае при построении еще одной таблицы оптимальное решение было найдено, так как индексная строка не содержит отрицательных элементов, можно сделать вывод, что оптимальное решение найдено (таблица 5).

Таблица 5 – Оптимальное решение

БП	СЧ	х1	х2	х3	х4	х5	х6
х4	17	-1,75	0	0	1	0,5	-1,25
х2	6	0,25	1	0	0	0,5	-0,25
х3	2	1,25	0	1	0	-0,5	0,75
F	140	3	0	0	0	5	3

х1=0; х2=6; х3=2

Целевая функция равна 140.

Также сделаем проверку полученного решения с помощью MS Excel и Maple.

2.4 Результаты выполнения задания средствами Microsoft Excel

MS Excel – одна из самых популярных сегодня программ электронных таблиц. Она предоставляет возможности экономико-статистических расчетов, графические инструменты и многие другие возможности. С помощью Excel можно анализировать большие массивы данных.

2.4.1 Решение задачи в MS Excel, с помощью модуля «Поиск решения»

Для начала проверим результат аналитического решения с помощью модуля «Поиск решения». Необходимо оформить лист в MS Excel в соответствии с рисунком 1.

Рисунок 1 – Оформление листа в MS Excel

Затем в ячейки с ограничениями и целевой функцией необходимо ввести формулы для расчета. В ячейки с ограничениями введем формулы х1+х2+2х3, 2х1+3х2+х3, 3х1+2х2+2х3. В ячейку с целевой функцией введена формула 15х1+20х2+10х3. Соответственно х1, х2, х3 не вводим с помощью клавиатуры, а мышкой нажимаем на ячейку х1, х2, либо х3. На данном этапе в ячейках с введенными формулами будет стоять нуль, так как значения еще не найдены и ячейки х1, х2, х3 пусты (рисунок 2).

Рисунок 2 – Ввод необходимых для решения формул

Для того, чтобы воспользоваться модулем «Поиск решения», необходимо сначала его подключить. Для этого выбираем в разделе «Сервис» пункт «Надстройки», и в появившемся диалоговом окне ставим галочку напротив пункта «Поиск решения» и нажимаем «Ок» (рисунок 3).

Рисунок 3 – Подключение модуля «Поиск решения»

Подключив модуль можно приступить к решению непосредственно задачи курсовой работы. Ставим курсор на ячейку с целевой функцией и выбираем раздел «Сервис», пункт «Поиск решения». В появившемся диалоговом окне устанавливаем целевую ячейку (если ранее курсор стоял именно на этой ячейке, то в появившемся окне она будет уже установлена), выбираем максимальное значение, указываем изменяемые ячейки (х1, х2, х3), устанавливаем ограничения. Далее выбираем раздел «Параметры», отмечаем галочкой пункты неотрицательное значение и линейная модель и нажимаем «Ок», затем снова нажимаем «Ок» и «Сохранить найденное решение» (рисунок 4-6).

Появляется диалоговое окно, в которое необходимо ввести значения (рисунок 4).

Рисунок 4 – Диалоговое окно «Поиск решения»

Рисунок 5 – Параметры

Рисунок 6 – Решение с помощью модуля «Поиск решения»

Результаты, полученные при решении аналитическим методом и с помощью поиска решения сходятся. Далее проверим решение задачи курсовой работы, решив симплекс методом в MS Excel.